有界数组中指定下标处的最大值

力扣来源：

https://leetcode.cn/problems/maximum-value-at-a-given-index-in-a-bounded-array/

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给你三个正整数 n、index 和 maxSum 。你需要构造一个同时满足下述所有条件的数组 nums（下标 从 0 开始 计数）：

nums.length == n

nums[i] 是 正整数 ，其中 0 <= i < n

abs(nums[i] - nums[i+1]) <= 1 ，其中 0 <= i < n-1

nums 中所有元素之和不超过 maxSum

nums[index] 的值被 最大化

返回你所构造的数组中的 nums[index] 。

注意：abs(x) 等于 x 的前提是 x >= 0 ；否则，abs(x) 等于 -x 。

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示例1：

输入：n = 4, index = 2,  maxSum = 6

输出：2

解释：数组 [1,1,2,1] 和 [1,2,2,1] 满足所有条件。不存在其他在指定下标处具有更大值的有效数组。

示例2：

输入：n = 6, index = 1,  maxSum = 10

输出：3

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解决：

• 第一种办法暴力循环查找。可以通过循环遍历从1开始查找，题目要求是呈现阶梯状的数组，所以从索引index开始从1开始遍历，其他周围的数依次变成阶梯状(最小是1)，然后将这些数全部统计计算总和。如果当总和大于maxSum的时候，返回查找到的值-1。
  返回最大的值减一是因为考虑数会有多出的情况，但是当我们刚好大于maxSum的时候。找到的这个值减去一所得的值就能包含这些全部情况。
  这种方法比较简单，因此不赘述。缺点是太慢了

• 第二种方法就是通过数学公式推导。因为生成的数都是呈现阶梯状态。所以可以通过公式推导。但是要考虑特殊情况，很难想出公式。下面介绍比较好想的方法。

• 第三种方法通过贪心加二分查找。我们需要找到最大的值，那根据贪心的原则，那我们就直接找最大的就好了。因此可以从maxSum开始查找。不仅如此。我们还需要进行二分查找，不然就是暴力遍历了。这个题目二分的思想就是以index为原点，分别计算index左边的和以及index右边的和，也就是sum(index左)+sum(index右)＜＝maxSum①，只要是符合这个式子的index的值，都是满足的，但并不是最大的。因此要调整上下界来查找到最大值。我们定义左边界为1，右边界为maxSum。当我们查找到符合式子①的时候也就是说明这个值符合，但是并不是最大。因此我们调整左边界为mid，也就是查找右边部分。当我们查找到不符合式子①的时候，证明超出了，因此我们调整有边界为mid，查找左边部分的值。通过这种方法，我们能找到最后符合条件的值为l。

class Solution {
    public int maxValue(int n, int index, int maxSum) {

    	int l=1;
    	int r=maxSum;
    	int lm=index;
    	int rm=n-index-1;
        while(l<r) {
        	long mid=(r+l+1)/2;
        	if(sum(mid,lm)+sum(mid,rm)-mid<=maxSum) {
        		l=(int)mid;
        	}else {
        		r=(int)mid-1;
        	}
        }
    	return l;
    }

    public static long sum(long a,int b) {
    	if(a<=b) {
    		return (1+a)*a/2+b-a+1;
    	}else {
    		long l = a-b-1;
    		return (1+a)*a/2-(1+l)*l/2;
    	}
    }
} 

对了，这个会超出int的范围，用long