四月 Atcoder 做题记录

Arc_170_a

简要题意：

给定由 A 和 B 构成的长度为 \(N\) 的字符串 \(S\) 和 \(T\)。每一次操作，你可以选择满足 \(1 \leq i < j \leq N\) 的整数 \(i,j\)。然后将 \(S_i\)​ 替换为 A，将 \(S_j\) 替换为 B。请判断是否可以使 \(S\) 与 \(T\) 相同，如果可能，请输出所需的最小操作次数。\(n \leq 2\times 10^5\)。

题解

细节好题。

贪心从前往后配一定不劣。因此我们可以双指针维护当前需要 A\(\rightarrow\)B 的指针 \(atob\) 和 B\(\rightarrow\)A 的指针 \(btoa\)。然后从前往后模拟。如果 \(btoa \leq atob\) 直接匹配即可。如果 \(atob < btoa\)，说明最近的一个 \(btoa\) 都不能与它匹配，需要看 \(atob\) 之前是否有字母 A 才能进行替换。

当然一定会有 \(atob\) 和 \(btoa\) 没有走到头的情况。对于 \(atob\) 也是要判断 \(atob\) 之前是否有字母 A；对于 \(btoa\) 需要判断 \(btoa\) 之后是否有字母 B。

Arc_170_b

简要题意

给定一个长度为 \(N\) 的数列 \(A_1​,A_2​,\cdots,A_N\)​，求满足条件“存在正整数 \(i,j,k\) 满足 \(1 \leq l \leq i<j<k \leq r\) 且 \(A_j​−A_i​=A_k​−A_j\)” ​的数对 \((l,r)\) 的个数。\(n \leq 10^5,1\leq A_i \leq 10\)。

题解

先开一个数组存每一个 \([1,10]\) 数值的下标，然后预处理出每一个数值 \(i \in [1,10]\) 所对应的数组的 lower_bound。

首先枚举左端点，然后枚举自左端点以后第一个出现的数值，其次枚举等差数列的差，在 lower_bound 数组中迭代 \(3\) 次就是这一次枚举到的最小的右端点。对于每一个左端点，维护右端点的最小值 \(r_{min}\)，答案需要增加 \(n-r_{min}+1\)。

Arc_170_c

简要题意

给定 \(N,M\) 和序列 \(S_i \in [0,1]\) 计算满足以下条件的长度为 \(N\) 的数列 \(A_{1 \sim N}\) 的数量对 \(998244353\) 取模的结果：

• \(0 \leq A_i​ \leq M\)。

• 对于所有 \(1 \leq i \leq N\)，如果 \(S_i​=1\)，则 \(A_i​=\text{mex}(A_1​,A_2​,…,A_{i−1}​)\)；如果 \(S_i​=0\)，则 \(A_i​\ne \text{mex}(A_1​,A_2​,…,A_{i−1}​)\)。

\(n \leq 5000\)，\(m\) 的范围不重要。

题解

我们对于 \(M\) 进行分类讨论。

• 如果 \(M \ge N\) 说明对于每一个 \(A_i=0\) 的数都有 \(m\) 种填数方案，又因为 \(\text{mex}\) 不能超过 \(n\)，所以可以直接乘。

• 如果 \(M<N\)，我们考虑转化题意。\(\text{mex}\) 这个东西实际上不好处理，但是我们实际上不需要知道 \(\text{mex}\) 具体的值是多少。
  我们把题意转化成在 \(0,1,2,\cdots,m\) 这 \(m+1\) 的格子中填数。

设 \(dp_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个数，\(j\) 个格子有数的方案数。

那么如果 \(A_i=1\)，那么 \(dp_{i,j}=dp_{i-1,j-1}\)，因为这个数只能在未有数的格子中选择。

如果 \(A_i=0\)，那么 \(dp_{i,j}=j \times dp_{i-1,j}+(m-j+1)\times dp_{i-1,j-1}\)。如果填之前填过的数，那么有 \(j\) 种；如果填之前没有填过的数，那么有 \(m+1-(j-1)=m-j+2\) 个格子空闲，因为 \(\text{mex}\) 不可填，所以有 \(m-j+1\) 个填数方案。

Arc_170_d

简要题意

Alice 和 Bob 又双叒叕在玩一个游戏。

最初，Alice 和 Bob 各有 \(N\) 张写着整数的卡片，分别为 \(A_i\)，\(B_i\)。然后，Alice，Bob，Alice 轮流把自己的一个卡片粘在黑板上。最后，如果可以用黑板上的三个整数的边长能组成一个三角形，则 Alice 获胜；否则，Bob 获胜。你需要确定当双方都采取最优行动时谁赢。

共有 T 组测试数据。\(\sum N \leq 2 \times 10^5\)。

题解

假设 Alice 第一次选了 \(a\)，第三次选了 \(c\)，Bob 第二次选了 \(b\)，那么 Bob 选的 \(b\)，只能使在除掉 \(a\) 的 \(A_i\) 与 \([|a-b|+1,a+b-1]\) 不存在交集。

对于 \(a\) 的取值，我们可以首先对 \(b\) 进行分类讨论：

如果 \(a>=b\) 那么原区间就是 \([a-b+1,a+b-1]\)，那么对于 \(b\) 来讲，肯定要使区间长度越小越好。因此我们可以首先对 \(B\) 进行排序，然后枚举所有的 \(a\)。如果对于一个 \(a\)，在区间 \([|a-B_1|+1,a+B_1-1]\) 中有数，那么这个 \(a\) 就符合条件，因为剩下的 \(a\)，只要选择了，Bob 一定赢。

如果 \(a<b\) 那么原区间就是 \([b-a+1,b+a-1]\)，那么对于 \(a\) 来讲，肯定要使区间长度越大越好。因此我们可以对符合以上条件的 \(a\) 进行排序，枚举 \(b\)，并判断符合条件的最大的 \(a\) 对于所有的 \(b\) 都是否符合条件。只要存在一个 \(b\) 不符合条件，那么 Bob 一定赢。

是否存在一种情况，选取最大的 \(a\) 实际不优？也就是说 \(b-a_n\) 覆盖不到 \(a_i\)，但 \(b-a_i\) 能覆盖到 \(a_n\)。

实际上不存在。假设存在，设选取 \(a_i\) 更优，且 \(a_i<a_n\)，\(b-a_i<a_n\)，\(b-a_n \ge a_i\)。后两个不等式很容易看出来矛盾性。

Arc_170_e

简要题意

生成一个长为 \(N\) 的序列 \(D\)，初始值全为 \(-1\)。同时有一双端队列 \(Q\)，其中有一个二元组 \((1,0)\)。反复执行以下操作，直到 \(Q\) 为空：

1. 设 \((v,d)\) 是 \(Q\) 中开头的二元组，并且将其从 \(Q\) 开头删除。
2. 如果 \(D_v​=−1\)，\(D_v​ \leftarrow d\)。
3. 然后，在 2. 的条件下，令 \(x\) 与 \(v\) 相邻，特殊地，\(n\) 与 \(1\) 相邻。对于所有的 \(x\)，如果 \(D_x=-1\)，那么有 \(\frac{P}{100}\)​ 的概率将 \((x,d+1)\) 加入队头，否则加入队尾。

你需要找到操作完成后，\(D\) 中所有元素之和的期望。答案对 \(998244353\) 取模。有 \(T\) 组测试。\(N \leq 10^{18},T \leq 10^4\)。

题解

队列是用来唬人的。实际上，队列中只能有 \(2\) 个元素。一个元素的坐标是从前往后的，一个元素的坐标是从后往前的。对于每一次的概率操作 \(P\)，实际上就是交换队头队尾。

我们考虑线性期望 \(dp\)。

• 设 \(f_{i,0}\) 表示有 \(i\) 个数，与初始方向相同的期望长度；
• 设 \(f_{i,1}\) 表示有 \(i\) 个数，与初始方向相反的期望长度；
• 设 \(f_{i,2}\) 表示有 \(i\) 个数，这些数的期望值之和。

令 \(p=\frac{P}{100}\)，有转移

• \(f_{i,0}=p \times (f_{i-1,0}+1)+(1-p) \times (f_{i-1,1}+1)\)
• \(f_{i,1}=f_{i-1,0}+f_{i-1,1}+1-f_{i,0}\)
• \(f_{i,2}=f_{i-1,2}+p \times f_{i-1,0}+(1-p) \times f_{i-1,1}+1\)

整理可得

• \(f_{i,0}=p \times f_{i-1,0}+(1-p) \times f_{i-1,1}+1\)
• \(f_{i,1}=(1-p) \times f_{i-1,0}+p \times f_{i-1,1}\)
• \(f_{i,2}=f_{i-1,2}+p \times f_{i-1,0}+(1-p) \times f_{i-1,1}+1\)

构造矩阵满足

\[\begin{bmatrix} f_{i-1,0} \\ f_{i-1,1} \\ f_{i-1,2} \\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p & 1-p & 0 & 1 \\ 1-p & p & 0 & 0 \\ p & 1-p & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f_{i,0} \\ f_{i,1} \\ f_{i,2} \\ 1 \end{bmatrix} \]

使用矩阵快速幂即可。

Arc_170_f

简要题意

给定一个 \(n\) 个点的树。对于一个长度为 \(n\) 的排列 \(P\) 满足：对于树上每个点 \(i\)，其点权为 \(P_i\)​。

\(A(P)\) 是一个初始为空的序列，给定 \(P\) 后，对于 \(i=1,2,⋯,n\)，依次进行操作：

• 如果 \(i\) 没有和其它的点连边，将 \(0\) 加入 \(A(P)\) 末尾，否则，选择和 \(i\) 相邻且点权最小的点 \(j\)，将 \(P_j​\) 加入 \(A(P)\) 末尾，并删除边 \((i,j)\)。

对于所有排列 \(P\)，找到字典序最小的 \(A(P)\)。\(n \leq 2 \times 10^5\)。

题解

定义

• 如果边 \((i,j)\) 在第 \(i\) 次操作被删除，那么我们称点 \(i\) 被确定，同时称点 \(j\) 为点 \(i\) 的 目标点；反之，如果边没有删除，那么我们称点 \(i\) 未被确定。
• 在第 \(i\) 次操作中，如果点 \(i\) 未被确定，在下述的算法中，我们会把一些数 \(x\) 写在与 \(i\) 相邻的点 \(v\) 上，我们称数 \(x\) 放置在了点 \(v\) 上；同时，我们称 \(i\) 为点 \(v\) 与数 \(x\) 的临时源点。

算法

因为我们最后是使字典序最小，所以对于每一个从 \(1 \sim n\) 从前往后遍历的 \(i\)，我们可以使用贪心算法尽可能最小化 \(A_i\)，不需要考虑进行操作后对 \((i+1) \sim n\) 的影响。

现在我们考虑怎么最小化 \(A_i\)。

1. 判断 \(A_i=0\) 是否可行

这与点 \(i\) 的度数有关。

• 如果点 \(i\) 的度数为 \(0\)，也就是点 \(i\) 被孤立，我们可以直接令 \(A_i=0\)。
• 如果点 \(i\) 的度数为 \(1\)，设与 \(i\) 相邻的点为 \(j\)，\(A_i=0\) 可行当且仅当 \(i > j\)，且 \(j\) 未被确定。此时，我们可以令 \(j\) 的目标点为 \(i\)，使 \(i\) 确定，当执行完这一步后 \(i\) 就孤立了，可以为 \(0\)。

简要证明：如果 \(i<j\)，那么边 \((i,j)\) 会一直存在直到遍历到 \(i\)。如果 \(j\) 被确定，那么点 \(j\) 无法更改目标点为 \(i\)，这样可能会改变之前算好的 \(A_i\)。

• 如果点 \(i\) 的度数大于等于 \(2\)，可以证明 \(A_i=0\) 不可行。

简要证明：假设存在两个未处理的相邻点 \(u\) 和 \(v\)，此时无论如何操作，\(i\) 必须选择一个邻居，导致至少一条边未被删除，无法使 \(i\) 孤立，不能为 \(0\)。

2. 点 \(i\) 不存在相邻节点被放置数

因为 \(1 \sim i-1\) 都放置在了与 \(i\) 不相邻的点上，所以此时 \(A_i=\max_{j=1}^{i-1}A_j+1\)。在代码中，我们可以记录一个数 \(cnt\) 表示此时的 \(\max_{j=1}^{i-1}A_j\)。

然后，我们把点 \(i\) 的所有相邻节点 \(v\) 都放置上 \(A_i\)。（此时任意的一个 \(v\)，\(i\) 都是它们的临时源点）

如果点 \(i\) 的度数为 \(1\)，设点 \(v\) 与 \(i\) 相邻，那么我们可以直接确定点 \(v\) 为点 \(i\) 的目标点，使点 \(i\) 确定。

3. 点 \(i\) 存在相邻节点被放置数

此时，我们找到与 \(i\) 相邻的最小的放置数 \(x\)，并找到对应节点 \(t\)。

此时 \(A_i\) 的最小值就是 \(x\)。所以我们考虑将点 \(t\) 作为点 \(i\) 的目标点，使点 \(i\) 确定。

但是这样显然不够，我们还需要考虑点 \(t\) 的临时源点 \(s\)，是点 \(s\) 将 \(x\) 放置在了 \(t\) 上，所以我们还需要把点 \(t\) 作为点 \(s\) 的目标点，使点 \(s\) 确定。

细节

你以为黑题就这样结束了？

1. 连锁确定反应

当点 \(s\) 确定时，设其目标点为 \(t\)，边 \((s,t)\) 会被删除。这会使点 \(t\) 的度数减少。如果点 \(t\) 的度数变成了 \(1\)，且满足 \(t < s\)，设其相邻点为 \(v\)，如果 \(v\) 也没有被确定，我们此时必须使点 \(t\) 的目标点为 \(v\)，使 \(t\) 确定。此时又会使点 \(v\) 的度数减少……

所以每次确定后需要考虑以上的连锁确定。

2. 在『算法』的 3. 中一些节点不能选择

• 一个点 \(i\) 可能给很多点都放置 \(x\)，但是最终只会选择一个点作为目标点。所以在判断的时候，如果数 \(x\) 的『临时源点』被确定了，那么这个 \(x\) 所代表的点就不能被选择了。
• 设当前遍历到的点为 \(i\)，选择的点为 \(j\)，如果点 \(j\) 没有被确定，度数为 \(2\) 且 \(i>j\)，那么点 \(j\) 也不能选择。

简要证明：设点 \(j\) 的临时源点为 \(k\)，看起来使点 \(j\) 作为点 \(i\) 和点 \(k\) 的目标点是没有问题的。但是如果删除了边 \((j,k)\) 后，点 \(j\) 的度数就变成了 \(1\)，此时点 \(j\) 必须选择点 \(i\) 作为目标点。所以出现了矛盾。

总结

按照 \(1,2,\cdots,n\) 的顺序使 \(A_i\) 取得最小，并且注意以上的细节，我们就可以得到字典序最小的 \(A_i\)。添加、删除、查询最小值的操作可以用 set 来实现。时间复杂度 \(O(n \log n)\)。

提交记录。

在代码中使用了 \(tgt\) 数组记录目标顶点。注意如果一个点 \(i\) 的目标顶点 \(j\) 已确定后，边 \((i,j)\) 是删除状态，所以代码中有很多关于 \(tgt\) 的判断，实际上就是判断这个点是否确定，或者边 \((i,j)\) 是否删除。