二分图笔记

二分图

二分图是什么

二分图的节点有 \(2\) 个集合几何组成，且两个集合没有边。

二分图的性质

1. 把二分图红蓝染色，每一条边只连接一个红节点和一个蓝节点。

2. 一个图是二分图的充要条件是这个图没有长度为奇数的环。

二分图的判定

在一个图上进行 dfs 红蓝染色，如果出现冲突（有一条边连着相同的颜色的点），那么绝对不是二分图。

二分图最大匹配

匹配的定义：

图 \(G\) 的匹配是图 \(G\) 的一个边集 \(E\) 满足集合 \(E\) 中所有边没有公共端点。

最大匹配的定义：

集合 \(E\) 大小最大的匹配。

Hall 定理：

对于二分图两边的集合 \(X,Y\)，二分图完美匹配数为 \(\min(|X|,|Y|)\)。

如果 \(|X|<|Y|\)，如果存在完美匹配的充要条件是对于任意一个 \(X\) 的子集，设大小为 \(k\)，那么和这个子集相连的 \(Y\) 不小于 \(k\) 个。

推论：二分图最大匹配的个数是 \(|X|-\max(|X'|-|N(X')|)\)，其中 \(X'\) 包含于 \(X\)，且 \(N(X')\) 表示集合 \(X'\) 的相邻节点集合。

算法：

可以建一个超级源点，然后跑一遍 Dinic 即可，如果需要输出方案，那么只需要判断一条边是否有流量即可。

二分图最小点覆盖：

选最少的点，满足每条边至少有一个端点被选。

Köing 定理：二分图中最小点覆盖的点数等于最大匹配数。

二分图最大独立集：

选最多的点，满足两两之间没有边相连。

二分图中，最大独立集 \(=n-\) 最小点覆盖。

二分图最大权完美匹配 :KM 算法

在最大匹配的同时边的权值最大。

定义：

• 顶标：点的的一个标记，满足 $w(u,w) \leq left_u + right_v $，并不唯一。
• 相等子图：原图的一个字图，满足图中任意边满足 \(left_u + right_v = w(u,v)\)。
• 交错树：增广路径形成的树。

定理：

对于某组可行顶标，如果其相等子图存在完美匹配，那么这个匹配就是二分图的最大权完美匹配。

KM 算法：

确定顶标->尝试匹配->如果有完美匹配则结束->否则修改顶标

对于匹配失败的左部点，他 dfs 时形成了一个交错树。