最长递增子序列

300. 最长递增子序列

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给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例 1：

输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

示例 2：

输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4

示例 3：

输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1

 

提示：

• 1 <= nums.length <= 2500

• -104 <= nums[i] <= 104

 

进阶：

• 你能将算法的时间复杂度降低到 O(n log(n)) 吗?

---

面试中遇到过这道题?

1/5

class Solution:
    def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:
        size = len(nums)
        dp = [1 for _ in range(size)]
​
        for i in range(size):
            for j in range(i):
                if nums[i] > nums[j]:
                    dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
        
        return max(dp)

300. 最长递增子序列 - 力扣（LeetCode）

 

 

方法二：动态规划 首先考虑题目问什么，就把什么定义成状态。题目问最长上升子序列的长度，其实可以把「子序列的长度」定义成状态，但是发现「状态转移」不好做。

基于「动态规划」的状态设计需要满足「无后效性」的设计思想，可以将状态定义为「以 nums[i] 结尾 的「上升子序列」的长度」。

「无后效性」的设计思想：让不确定的因素确定下来，以保证求解的过程形成一个逻辑上的有向无环图。这题不确定的因素是某个元素是否被选中，而我们设计状态的时候，让 nums[i] 必需被选中，这一点是「让不确定的因素确定下来」，也是我们这样设计状态的原因。

1. 定义状态：

dp[i] 表示：以 nums[i] 结尾 的「上升子序列」的长度。注意：这个定义中 nums[i] 必须被选取，且必须是这个子序列的最后一个元素；

2. 状态转移方程：

如果一个较大的数接在较小的数后面，就会形成一个更长的子序列。只要 nums[i] 严格大于在它位置之前的某个数，那么 nums[i] 就可以接在这个数后面形成一个更长的上升子序列。

dp[i]= 0≤j<i,nums[j]<nums[i] max

dp[j]+1

3. 初始化：

dp[i] = 1，1 个字符显然是长度为 1 的上升子序列。

4. 输出： 不能返回最后一个状态值，最后一个状态值只表示以 nums[len - 1] 结尾的「上升子序列」的长度，状态数组 dp 的最大值才是题目要求的结果。

1≤i≤N max

dp[i]

5. 空间优化：

遍历到一个新数的时候，之前所有的状态值都得保留，因此无法优化空间。

可以看下面的例子理解「动态规划」的执行流程。由于幻灯片上的文字比较多，可以先让幻灯片动起来，从整体把握思想。

作者：liweiwei1419 链接：https://leetcode.cn/problems/longest-increasing-subsequence/solutions/7196/dong-tai-gui-hua-er-fen-cha-zhao-tan-xin-suan-fa-p/ 来源：力扣（LeetCode） 著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。