牛妹吃糖问题

 

牛妹喜欢吃糖，现在有一排共n个糖果，第i个糖果具有一个甜度值αi。因为吃甜食太多了会得蛀牙，所以牛妹吃的糖果的甜度值总和不能超 过k。她可以以任意的顺序吃糖，请问她最多能吃多少个糖果？

输入描述： 第一行给出两个正整数n，k(1≤n≤2*10的5次幂,1≤k≤10的9次幂），意义如题面所示 第二行有n个整数，分别代表每一个糖果的甜度α(1≤αi≤10的9次幂)

输出描述： 输出一行一个整数代表牛妹最多可以吃掉的糖果数。

 

解法1

这个问题可以通过贪心算法来解决，即优先选择甜度值最小的糖果，这样可以尽可能多地吃糖果。

解题步骤

1. 读取输入：

   • 第一行读取两个正整数 ( n ) 和 ( k )。

   • 第二行读取 ( n ) 个整数，表示每个糖果的甜度值 ( \alpha_i )。

2. 排序：

   • 将糖果的甜度值从小到大排序。这样可以优先选择甜度值最小的糖果。

3. 计算：

   • 初始化一个变量 ( sum ) 表示当前吃掉的糖果的甜度值总和，初始值为0。

   • 初始化一个变量 ( count ) 表示吃掉的糖果数量，初始值为0。

   • 遍历排序后的糖果甜度值，每次将当前糖果的甜度值加到 ( sum ) 上，如果 ( sum ) 超过 ( k )，则停止遍历。

   • 每次成功吃掉一个糖果，将 ( count ) 加1。

4. 输出：

   • 输出 ( count ) 的值，即牛妹最多能吃掉的糖果数。

代码实现

# 读取输入
n, k = map(int, input().split())
alpha = list(map(int, input().split()))
​
# 排序
alpha.sort()
​
# 计算
sum = 0
count = 0
for i in range(n):
    if sum + alpha[i] <= k:
        sum += alpha[i]
        count += 1
    else:
        break
​
# 输出
print(count)

复杂度分析

• 时间复杂度：主要消耗在排序上，为 ( O(n \log n) )。

• 空间复杂度：除了输入数据外，只使用了常数级的额外空间，为 ( O(1) )。

注意事项

• 确保在遍历糖果甜度值时，一旦 ( sum ) 超过 ( k )，立即停止遍历，避免不必要的计算。

• 在实际编程中，注意输入输出的格式和数据类型的处理，确保与题目要求一致。

通过以上步骤和代码实现，我们可以得到牛妹最多能吃掉的糖果数。

 

解法2

这个问题通常可以用动态规划(Dynamic Programming)或者滑动窗口(Sliding Window)算法来解决。这是一个经典的"0-1背包"问题变种，我们想要找到最大的连续子数组之和不超过给定限制k。我们可以定义一个二维数组dp，其中dpi表示在前i个糖果中，甜度总和不超过j 的情况下，牛妹能够吃到的最大糖果数。 以下是Python代码的一个基本实现：

def max Candies(n, k, arr): dp = [[0 for _ in range(k+1)] for _ in range(n+1)]

#初始化边界条件
for i in range(1, n+1):
    dp[i][0] = 1#动态规划遍历数组
​
for i in range(1, n+1):
    for j in range(1, min(i+1, k+1)):

 

除了贪心算法，这个问题还可以通过动态规划（Dynamic Programming）的方法来解决。动态规划适用于解决具有重叠子问题和最优子结构的问题，而这个问题可以看作是一个“0-1背包”问题的变种。

动态规划解法

1. 定义状态：

   • 令 ( dpi ) 表示在前 ( i ) 个糖果中，甜度总和不超过 ( j ) 的情况下，牛妹能够吃到的最大糖果数。

2. 初始化：

   • ( dp0 = 0 ) 对于所有 ( j )，因为没有糖果时，牛妹无法吃任何糖果。

   • ( dpi = 0 ) 对于所有 ( i )，因为甜度总和为0时，牛妹无法吃任何糖果。

3. 状态转移：

   • 对于每个糖果 ( i ) 和每个可能的甜度总和 ( j )，我们有两种选择：

     • 不吃第 ( i ) 个糖果：( dpi = dpi-1 )。

     • 吃第 ( i ) 个糖果，前提是 ( j \geq \alpha_i )：( dpi = dpi-1 + 1 )。

   • 我们取这两种选择中的最大值：( dpi = \max(dpi-1, dpi-1 + 1) )。

4. 结果：

   • 最终结果是 ( dpn )，表示在 ( n ) 个糖果中，甜度总和不超过 ( k ) 的情况下，牛妹能够吃到的最大糖果数。

代码实现

def max_candies(n, k, alpha):
    # 初始化dp数组
    dp = [[0] * (k + 1) for _ in range(n + 1)]
    
    # 动态规划计算
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, k + 1):
            if j >= alpha[i - 1]:
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - alpha[i - 1]] + 1)
            else:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j]
    
    # 返回结果
    return dp[n][k]
​
# 读取输入
n, k = map(int, input().split())
alpha = list(map(int, input().split()))
​
# 调用函数并输出结果
print(max_candies(n, k, alpha))

复杂度分析

• 时间复杂度：( O(nk) )，其中 ( n ) 是糖果的数量，( k ) 是甜度总和的限制。

• 空间复杂度：( O(nk) )，用于存储动态规划表。

注意事项

• 动态规划解法在 ( n ) 和 ( k ) 较大时可能会导致时间和空间复杂度较高，因此在实际应用中需要权衡。

• 在实现时，注意边界条件的处理，确保不会出现索引越界的情况。

通过以上步骤和代码实现，我们可以得到牛妹最多能吃掉的糖果数，同时满足时间限制和内存限制。