BZOJ2005:[NOI2010]能量采集(莫比乌斯反演,欧拉函数)

Description

栋栋有一块长方形的地,他在地上种了一种能量植物,这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后,栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐,一共有n列,每列有m棵,植物的横竖间距都一样,因此对于每一棵植物,栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示,其中x的范围是1至n,表示是在第x列,y的范围是1至m,表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大,不便移动,栋栋将它放在了一个角上,坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物,则能量的损失为2k + 1。例如,当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时,由于连接线段上存在一棵植物(1, 2),会产生3的能量损失。注意,如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物,则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子,其中n = 5,m = 4,一共有20棵植物,在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中,总共产生了36的能量损失。

 

Input

仅包含一行,为两个整数n和m。

Output

仅包含一个整数,表示总共产生的能量损失。

Sample Input

【样例输入1】
5 4
【样例输入2】
3 4

Sample Output

【样例输出1】
36
【样例输出2】
20
对于100%的数据:1 ≤ n, m ≤ 100,000。

Solution

首先要知道一点,就是对于一个点$(x,y)$来说,ta到起点的连线会经过$gcd(x,y)-1$个点(不包含本身)为什么我也不会证,不过感性理解非常正确

所以题目就成了求$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}2*(gcd(i,j)-1)+1$

化简一下就成了$2*\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}gcd(i,j)-n*m$

也就是求出$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}gcd(i,j)$题目就结束了 。

以下假设n<m

$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^mgcd(i,j)$

$=\sum_{p=1}^{n} p \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m[gcd(i,j)=p]$

$=\sum_{p=1}^np\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor}\sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{m}{p} \right \rfloor}[gcd(i,j)=1]$

$=\sum_{p=1}^np\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor}\sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{m}{p} \right \rfloor}\sum_{d|gcd(a,b)}\mu(d)$

$=\sum_{p=1}^np\sum_{d=1}^{\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor}\mu(d){\left \lfloor \frac{n}{pd} \right \rfloor}{\left \lfloor \frac{m}{pd} \right \rfloor}$

设$pd=T$

$=\sum_{T=1}^{n}{\left \lfloor \frac{n}{T} \right \rfloor}{\left \lfloor \frac{m}{T} \right \rfloor}\sum_{p|T}p*\mu(\frac{T}{p})$

$=\sum_{T=1}^{n}{\left \lfloor \frac{n}{T} \right \rfloor}{\left \lfloor \frac{m}{T} \right \rfloor}φ(T)$

$\sum_{p|T}p*\mu(\frac{T}{p})=φ(T)$好像是因为用到了求欧拉函数的时候容斥的思想QAQ……

Code

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #define N (100000)
 4 using namespace std;
 5 
 6 long long ans,n,m,sum[N+5],phi[N+5];
 7 
 8 void Get_phi()
 9 {
10     phi[1]=1;
11     for (int i=2; i<=N; ++i)
12         if (!phi[i])
13             for (int j=i; j<=N; j+=i)
14             {
15                 if (!phi[j]) phi[j]=j;
16                 phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
17             }
18     for (int i=1; i<=N; ++i) sum[i]=sum[i-1]+phi[i]; 
19 }
20 
21 int main()
22 {
23     scanf("%lld%lld",&n,&m);
24     if (n>m) swap(n,m);
25     Get_phi();
26     for (int l=1,r; l<=n; l=r+1)
27     {
28         r=min(n/(n/l),m/(m/l));
29         ans+=(sum[r]-sum[l-1])*(n/l)*(m/l);
30     }
31     printf("%lld\n",2*ans-n*m);
32 }
posted @ 2018-08-30 11:05  Refun  阅读(...)  评论(...编辑  收藏