BZOJ1925:[SDOI2010]地精部落(DP)

Description

传说很久以前，大地上居住着一种神秘的生物：地精。 地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说，一座长度为 N 的山脉 H可分 为从左到右的 N 段，每段有一个独一无二的高度 Hi，其中Hi是1到N 之间的正 整数。 如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高，则这段山脉是一个山峰。位于边 缘的山脉只有一段相邻的山脉，其他都有两段（即左边和右边）。 类似地，如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低，则这段山脉是一个山谷。 地精们有一个共同的爱好——饮酒，酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆 不论白天黑夜总是人声鼎沸，地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。 地精还是一种非常警觉的生物，他们在每座山峰上都可以设立瞭望台，并轮 流担当瞭望工作，以确保在第一时间得知外敌的入侵。 地精们希望这N 段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一，只有满足 这个条件的整座山脉才可能有地精居住。 现在你希望知道，长度为N 的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉A 和B不同当且仅当存在一个 i，使得 Ai≠Bi。由于这个数目可能很大，你只对它 除以P的余数感兴趣。

Input

仅含一行，两个正整数 N, P。

Output

仅含一行，一个非负整数，表示你所求的答案对P取余 之后的结果。

Sample Input

4 7

Sample Output

3

HINT

对于 20%的数据，满足 N≤10；
对于 40%的数据，满足 N≤18；
对于 70%的数据，满足 N≤550；
对于 100%的数据，满足 3≤N≤4200，P≤109

Solution

首先可以发现这个序列的特点就是折来折去的，这玩意儿叫波动数列，它有一个性质叫对称性。

假如$n=5$的一个波动数列为$5,2,4,1,3$，那么他对称的序列就是$1,4,2,5,3$，可以发现原序列的对称数列也是一个波动数列。

那么我们设$f[i][j]$表示前$i$个数构成的排列第一个数的取值范围为$[1,j]$且第一个数为山峰的方案数。

首先很显然，若第一个数为$[1,j-1]$则$f[i][j]+=f[i][j-1]$。

若第一个数为$j$，剩下$i-1$个数离散一下就是一个大小为$i-1$的数集，且这个数集开头必须选$[1,j-1]$，但是$f$数组记录的是第一个数为山峰的值，这个时候就可以根据上面提到的对称性转化成$f[i][j]+=f[i-1][i-j]$

Code

#include<cstdio>
#define N (4209)
int n,p,f[2][N];
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&p);
    f[1][1]=1;
    for (int i=2; i<=n; ++i)
        for (int j=1; j<=i; ++j)
            f[i&1][j]=(f[i&1][j-1]+f[(i-1)&1][i-j])%p;
    printf("%d\n",f[n&1][n]*2%p);
}