图论基础

图论基础

图的相关概念

1，图，点和边的集合。
a,顶点:图中的数据元素称为顶点.
b,有向图:有方向的图叫有向图.
c,无向图:没有方向的图叫无线图.
d,完全图:有n(n-1)/2条边的无向图称为完全图.
e,有向完全图:具有n(n-1)条弧的有向图称为有向完全图.
f,稀疏图:有很少条边或弧的图称为稀疏图,反之称为稠密图.
g,权:与图的边或弧相关的数叫做权(weight).（最小生成树）
h,度，顶点连边个数

树

2，树，连通无回路；无回路的图，森林。
a,点为n，边为n-1。
b,最小生成树，kruskal算法（边贪心），prim算法（贪心搜索，bfs，逐步扩展）。

路

3，欧拉回路，若图G中存在这样一条路径，恰通过G中每条边一次,则称该路径为欧拉路径；
若该路径是一个圈，则称为欧拉(Euler)回路。
七桥问题。(是否是欧拉路或回路可用度来判断)。

数据结构

4，计算机存图，邻接矩阵，邻接表，十字链表，向前星。
a,邻接矩阵，to[i][j],存权值。
b,邻接表，每个顶点所连边用单链表连起来，存联系节点值，边权值，下一个并列单元。
(一般直接开stl的vector直接存)；
c,十字链表，用节点的形式保存有值的先关节点。
d,向前星，x[n],y[n],v[n],s1[n],s2[n]，分别为起始节点，结束节点，权值，后俩个为引索。
e,链式向前星，邻接表类似。

最短路

5，最短路，Dijkstra算法，Floyd算法，,bellman-ford算法，SPFA算法
a,Dijkstra算法，迪杰斯特拉算法(权值非负)
1).初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。
2).从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。
3).以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。
4).重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

      时间复杂度O（n^2）；

b,floyd算法，罗伯特·弗洛伊德
从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查
Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录
的便是i到j的最短路径的距离。

       for(k=0;k<n;k++)
       for(i=0;i<n;i++)
       for(j=0;j<n;j++)
       A[i][j]=min(A[i][j],A[i][k]+A[k][j]);

    时间复杂度O（n^3）

c,bellman-ford算法，贝尔曼-福特（可有负边，可判断是否有负环）
下面是主要步骤，方便以后自己理解，代码找板子吧。
第一，初始化所有点。每一个点保存一个值，表示从原点到达这个点的距离，将原点的值设为0，其它的点的值设为无穷大（表示不可达）。
第二，进行循环，循环下标为从1到n－1（n等于图中点的个数）。在循环内部，遍历所有的边，进行松弛计算。
第三，遍历途中所有的边（edge（u，v）），判断是否存在这样情况： d（v） > d (u) + w(u,v) 则返回false，表示途中存在从源点可达的权为负的回路。

    时间复杂度O（n*m）

d,SPFA算法，1994年西安交通大学提出，一般认为是bellman-ford的优化。
主要步骤：
初始化： d数组全部赋值为INF（无穷大）；p数组全部赋值为s（即源点），或者赋值为-1，表示还没有知道前驱然后d[s]=0; 表示源点不用求最短路径，或者说最短路就是0。将源点入队；
　 　　　（另外记住在整个算法中有顶点入队了要记得标记vis数组，有顶点出队了记得消除那个标记）

队列+松弛操作

读取队头顶点u，并将队头顶点u出队（记得消除标记）；将与点u相连的所有点v进行松弛操作，如果能更新估计值（即令d[v]变小），那么就更新，另外，如果点v没有在队列中，那么要将点v入队（记得标记），如果已经在队列中了，那么就不用入队以此循环，直到队空为止就完成了单源最短路的求解。
　

        时间复杂度O（ke），k平均边进栈次数

受益匪浅