[ABC289D] Step Up Robot 题解

Problem

有一机器人初始在 \(0\) 级阶梯，对于每一级阶梯，机器人可以从 \(1\sim N\) 种任选一个 \(i\) 走 \(A_i\) 步，同时有 \(M\) 个障碍在 \(B_i\) 级阶梯，若走到障碍则将无法移动，问能否通过某种方案使机器人到达第 \(X\) 级阶梯。

\(1\leq N\leq 10\)，\(1\leq M\leq 10^5\)，\(1\leq X\leq 10^5\)，\(A_i\) 和 \(B_i\) 严格单调递增。

Solution

考虑使用动态规划（或可以直接称其为标记），设 \(f_i\) 为能否到达第 \(i\) 层阶梯。

那么初始状态为 \(f_0=1\)，其它均为 \(0\)。

考虑到 \(N\) 最大仅为 \(10\)，故可以在每层阶梯 \(i\) 直接枚举步数，若可以被之前的点走到（即 \(f_{i-A_j}=1\)）则 \(f_i=1\)，反之则 \(f_i=0\)，最后判断 \(f_X\) 的值即可。

时间复杂度 \(\mathcal{O}(NX)\)。

Code

signed main(){
    f[0]=1;
    n=read();
    F(i,1,n) a[i]=read();
    m=read();
    F(i,1,m) isTrap[read()]=1;
    x=read();
    F(i,a[1],x) // 直接从 a[1] 开始枚举，因为前面的点不可能会被更新，且 a[i] 严格单调递增，所以无需排序。
        for (int j=1;j<=n&&i-a[j]>=0&&!f[i]&&!isTrap[i];++j) // 若枚举过程中已经使 f[i]=1 了，则无需再枚举。
            f[i]=f[i-a[j]]&1;
    puts(f[x]?"Yes":"No");
    return 0;
}