4.2.3 疲劳强度试验 11.14
1. 计算方法
疲劳强度试验也称作疲劳极限试验、强度试验或响应试验，其目标是预估在给定高周疲劳寿命条件下疲劳强度的统计分布。在众多疲劳强度试验方法中，阶梯法（通常被称为上下法）是一种最常用的方法，已被许多标准所采纳，如英国标准协会({[4]})、日本机械工程师协会()、法国标准化委员会（L’association Francaise de Normalisation）({[22]})和美国金属粉末工业联合会（MPIF）()，用于预估疲劳极限的统计特性。
在疲劳强度试验中，首先必须预估平均疲劳极限。然后，在略高于预估平均应力的应力水平下进行疲劳寿命试验。如果试样在该应力水平的疲劳寿命之前发生失效，下一个试样必须在较低应力水平下进行试验。如果试样在这一应力水平的疲劳寿命之内没有发生失效，新的试验必须在较高应力水平下进行。因此，每个试验取决于上一个试验的结果，并且通过增加或降低应力水平继续进行试验。这个过程如图4.7所示。柯林斯（Collins）1993年建议，进行试验至少需要15个试样。应力增量通常低于平均疲劳极限初期预估值的5%左右(^{[3]})。
迪克森–姆德（Dixon – Mood）和张–凯塞西奥格鲁（Zhang – Kececioglu）分别在1948年和1998年推出了两种典型的数据简化方法({[6][54]})，用于确定试验结果的统计参数。关于这两种方法的讨论()，在其它参考文献中张–凯塞西奥格鲁提出，采用极大似然估计法或终止项分析法进行统计分析。迪克逊–姆德法是根据极大似然估计法推导出的，并假设疲劳极限非常符合正态分布。前一种方法具有将试验数据与非正态分布进行拟合的灵活性，并且可以用于可变的应力梯级。后一种方法易于使用，其结果通常较为保守。因而，这是本章研究的重点。
迪克逊–姆德提供了用于计算疲劳极限（(S_{\mathrm{s}})）平均数（(\mu_{\mathrm{s}})）和标准差（(\sigma_{\mathrm{s}})）的近似公式。这种方法假设疲劳极限服从正态分布，需要利用小概率事件数据来确定这两个统计特性（例如，或是只有失效，或是只有存活率）。将以所选增量(d)等距隔开的应力水平(S_i)编号为(i)，其中，在最低应力水平(S_0)时(i = 0)。应力增量应在疲劳极限两倍标准差的一半范围内。
在编号应力水平(i)上的小概率事件数用(n_{\mathrm{DM},i})来表示，可以计算出(A_{\mathrm{DM}})和(B_{\mathrm{DM}})两个量：
则预估的平均值为
式中，若小概率事件是存活率，则采用加号（(+)），若小概率事件是失效，则采用减号（(-)）。
标准差采用下式预估：
如果(\frac{B_{\mathrm{DM}} \sum n_{\mathrm{DM},i} - A_{\mathrm{DM}}^2}{(\sum n_{\mathrm{DM},i})^2} \geqslant 0.3)，
或者，如果(\frac{B_{\mathrm{DM}} \sum n_{\mathrm{DM},i} - A_{\mathrm{DM}}^2}{(\sum n_{\mathrm{DM},i})^2} < 0.3)，
根据正态分布的平均值(\mu_{\mathrm{s}})和标准差(\sigma_{\mathrm{s}})，利用单侧下界公差极限(K)系数可以确定与可靠性和置信水平相关的下界值(^{[24]})：
式中，正态分布单侧公差极限的(K)系数在表4.6和表4.7中列出。下界限疲劳极限(S_{\mathrm{s,R,C}})意味着，置信水平(C%)和存活率(R%)的试验疲劳极限预计会超过(S_{\mathrm{s,R,C}})。
表4.6 正态分布单侧下界公差极限的(K)系数(^{[24]})
| (C) | 0.75 | 0.90 |
|---|---|---|
| (R) | 0.75 0.90 0.95 0.99 0.999 | 0.75 0.90 0.95 0.99 0.999 |
| (n) | ||
| 3 | 1.464 2.501 3.152 4.396 5.805 | 2.602 4.258 5.310 7.340 9.651 |
| 4 | 1.256 2.134 2.680 3.726 4.910 | 1.972 3.187 3.967 5.437 7.128 |
2.数据案例
2.1 例4.5
根据图4.7所示的阶梯试验结果，确定疲劳极限统计特性及其R95C90值。图4.7中的黑点和圆圈分别表示，在(107)次循环之前失效和在(107)次循环处终止的试验数据。
解：本例分析中采用了存活率，因为它们是这些结果的小概率事件。因此，
根据方程(4.2.25)和方程(4.2.26)，可以获得
根据方程(4.2.27)，
由于
可以根据方程(4.2.28)，对标准差估算如下：
因此，估算的疲劳耐久性强度平均值和标准差分别是(401.7\mathrm{MPa})和(19.7\mathrm{MPa})。
假设疲劳极限服从正态分布，采用单侧下界公差极限方法，可以求出R95C90疲劳极限值：
式中：(K)为2.448，由表4.6中利用(n_{\mathrm{t}} = 12)查得。因此，
2.2 例4.6（应用）
图4.8所示的为一个汽车进气门系统，包括凸轮、从动件、长推杆、摇臂和气门弹簧。进气门摇臂由SAE 1008热轧钢制成，表面粗糙度为(1.1\mu\mathrm{m})。材料的洛氏硬度（(RB)）范围为50～70。检验摇臂的耐久性准则。这意味着，(10^7)次循环时的R90C90疲劳强度应超过最大工作载荷与一个安全系数的乘积。假设在本例中所采用安全系数为1.3。
采用(R = 0)的循环加载方式，对摇臂进行(10^7)次循环疲劳强度的阶梯（或上下）疲劳试验。将试验装置设计成三级转换形式，即从气门顶端持续承受循环载荷，然后迫使枢轴和推杆运动。气门顶端循环载荷从零到特定的最大载荷之间变化。图4.9示出了阶梯试验的结果，图4.10示出了气门顶端载荷计算值（(N)）相对于发动机转速（(r/\mathrm{min})）的变化。
（1）采用迪克逊–姆德方法，分析(10^7)次循环时阶梯疲劳试验的统计疲劳强度。
（2）采用单侧下界公差极限方法，确定(10^7)次循环时的R90C90疲劳强度。
（3）计算安全系数，检验摇臂设计是否满足耐久性目标。
解：鉴于试件存活的数量小于失效的数量，故而对存活试件进行计数：
（1）求解疲劳极限的平均值，
式中：(A_{\mathrm{DM}} = \sum (i)(n_i))，(\mu_{\mathrm{s}} =)在一个给定寿命时的平均疲劳强度；(P_0 =)小概率事件发生时的最低载荷水平；(P_{\mathrm{d}} =)载荷增量；(n_{\mathrm{DM},i} =)编号为(i)应力水平时的小概率事件数。
需要注意的是，如果小概率事件是存活率则使用加号，如果小概率事件是失效则使用减号。
（2）求解疲劳极限的标准差，
由于(1.42 > 0.3)，(\sigma_{\mathrm{s}} = 1.62P_{\mathrm{d}}\left(\frac{B_{\mathrm{DM}} \sum n_{\mathrm{DM},i} - A_{\mathrm{DM}}^2}{(\sum n_{\mathrm{DM},i})^2} + 0.029\right))
（3）利用单侧下界公差极限法和表4.6中的(n = 15)，确定在(10^7)次循环时的R90C90疲劳强度：
（4）计算安全系数，检验摇臂设计是否满足目标：
带入(P_{\max} = 8000\mathrm{N})
3.编程计算
4.附录
4.3 完整程序
import math
def calculate_fatigue_properties(lowest_level, increment, n_list, is_survival=True):
"""
基于迪克森-姆德法计算疲劳极限统计特性
:param lowest_level: 最低应力/载荷水平（S0或P0）
:param increment: 应力/载荷增量（d或Pd）
:param n_list: 各水平小概率事件数列表（索引对应i值）
:param is_survival: 是否为存活率（True=存活率，False=失效数）
:return: 平均值、标准差
"""
sum_n = sum(n_list)
# 计算A_DM和B_DM
A_DM = 0
B_DM = 0
for i, n in enumerate(n_list):
A_DM += i * n
B_DM += (i ** 2) * n
# 计算平均值
sign = 0.5 if is_survival else -0.5
mean = lowest_level + increment * (A_DM / sum_n + sign)
# 计算标准差
numerator = B_DM * sum_n - A_DM ** 2
denominator = sum_n ** 2
ratio = numerator / denominator
if ratio >= 0.3:
std = 1.62 * increment * (ratio + 0.029)
else:
std = 0.53 * increment
return mean, std, A_DM, B_DM
def get_k_coefficient(sample_size, reliability, confidence):
"""
从表4.6获取K系数（仅包含案例所需数值，可扩展完整表格）
:param sample_size: 样本量（sum_n）
:param reliability: 存活率（如0.95、0.90）
:param confidence: 置信水平（如0.90）
:return: K系数
"""
# 表4.6关键数据映射（n: {置信度: {存活率: K值}}）
k_table = {
12: {0.90: {0.95: 2.448}}, # 例4.5所需：n=12, C=0.90, R=0.95
15: {0.90: {0.90: 1.866}} # 例4.6所需：n=15, C=0.90, R=0.90
}
return k_table[sample_size][confidence][reliability]
def calculate_lower_bound(mean, std, k):
"""计算单侧下界疲劳强度（S_s,R,C 或 P_R90C90）"""
return mean - k * std
# ---------------------- 例4.5 计算 ----------------------
print("="*50)
print("例4.5 计算结果")
print("="*50)
# 例4.5参数：S0=360MPa，d=20MPa，各i对应的n值（i=0到4）
n_list_45 = [1, 4, 6, 1, 0] # i=0到4的n_DM,i
S0_45 = 360
d_45 = 20
sum_n_45 = sum(n_list_45)
# 计算平均值和标准差
mean_45, std_45, A_45, B_45 = calculate_fatigue_properties(S0_45, d_45, n_list_45, is_survival=True)
print(f"A_DM = {A_45}, B_DM = {B_45}")
print(f"疲劳极限平均值μ_s = {mean_45:.2f} MPa")
print(f"疲劳极限标准差σ_s = {std_45:.2f} MPa")
# 计算R95C90值（存活率95%，置信水平90%）
k_45 = get_k_coefficient(sum_n_45, 0.95, 0.90)
lower_bound_45 = calculate_lower_bound(mean_45, std_45, k_45)
print(f"R95C90疲劳极限 = {lower_bound_45:.2f} MPa")
# ---------------------- 例4.6 计算 ----------------------
print("\n" + "="*50)
print("例4.6 计算结果")
print("="*50)
# 例4.6参数：P0=14500N，Pd=400N，各i对应的n值（i=0到4）
n_list_46 = [3, 4, 4, 3, 1] # i=0到4的n_DM,i
P0_46 = 14500
Pd_46 = 400
sum_n_46 = sum(n_list_46)
P_max_46 = 8000 # 最大工作载荷
safety_factor_req = 1.3 # 要求的安全系数
# 计算平均值和标准差
mean_46, std_46, A_46, B_46 = calculate_fatigue_properties(P0_46, Pd_46, n_list_46, is_survival=True)
print(f"A_DM = {A_46}, B_DM = {B_46}")
print(f"疲劳载荷平均值μ_s = {mean_46:.2f} N")
print(f"疲劳载荷标准差σ_s = {std_46:.2f} N")
# 计算R90C90值（存活率90%，置信水平90%）
k_46 = get_k_coefficient(sum_n_46, 0.90, 0.90)
lower_bound_46 = calculate_lower_bound(mean_46, std_46, k_46)
print(f"R90C90疲劳载荷 = {lower_bound_46:.2f} N")
# 计算安全系数
safety_factor = lower_bound_46 / P_max_46
print(f"实际安全系数 = {safety_factor:.2f}")
print(f"是否满足设计要求（≥{safety_factor_req}）: {'是' if safety_factor >= safety_factor_req else '否'}")
浙公网安备 33010602011771号