条件异方差中的 ARCH 和 GARCH

条件异方差模型的公式可以有多种形式，但最常见的两种是ARCH模型和GARCH模型。下面分别给出这两种模型的基本公式。

ARCH模型（自回归条件异方差模型）

ARCH模型的基本形式是：

\[\epsilon_t = \sigma_t z_t \]

其中，$ \epsilon_t $ 是误差项，$ z_t $ 是标准正态分布的随机变量，$ \sigma_t $ 是条件标准差，它依赖于过去误差项的平方。具体地，$ \sigma_t $ 的平方（即条件方差）可以表示为：

\[\sigma_t^2 = \alpha_0 + \alpha_1 \epsilon_{t-1}^2 + \alpha_2 \epsilon_{t-2}^2 + \cdots + \alpha_p \epsilon_{t-p}^2 \]

其中，$ \alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_p $ 是模型参数，$ p $ 是模型的阶数。

GARCH模型（广义自回归条件异方差模型）

GARCH模型是ARCH模型的推广，它在ARCH模型的基础上增加了条件方差的自回归部分。GARCH模型的基本形式是：

\[\epsilon_t = \sigma_t z_t. \]

其中，$ \epsilon_t $ 是误差项，$ z_t $ 是标准正态分布的随机变量，$ \sigma_t $ 是条件标准差，它依赖于过去误差项的平方和过去条件方差。具体地，$ \sigma_t $ 的平方（即条件方差）可以表示为：

\[\sigma_t^2 = \alpha_0 + \alpha_1 \epsilon_{t-1}^2 + \alpha_2 \epsilon_{t-2}^2 + \cdots + \alpha_p \epsilon_{t-p}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 + \beta_2 \sigma_{t-2}^2 + \cdots + \beta_q \sigma_{t-q}^2 \]

其中，$ \alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_p, \beta_1, \ldots, \beta_q $ 是模型参数，$ p $ 和 $ q $ 分别是模型的阶数。

这两种模型都可以用来捕捉时间序列数据中的条件异方差性，即误差项方差随时间变化的特性。在实际应用中，根据数据的特性选择合适的模型和阶数是非常重要的。