稳定性

1.2 稳定性的定义

从直观上解释了稳定性的含义，下面将介绍严谨的数学定义。在 1892 年，俄国数学家亚历山大·李雅普诺夫（Aleksandr Lyapunov）在其博士论文《运动稳定性的一般问题》中提出了稳定性的科学概念。本书将选用这个概念来定义系统的稳定性，它是一个通用的概念，既可以运用在线性系统中，也可以运用到非线性的系统分析中。

首先介绍平衡点的定义，考虑一个无输入的状态空间方程表达式，即 \(\frac{d z(t)}{d t}=f(z(t))\)。中的\(f(z(t))\)可以是线性的，也可以是非线性的，它是一个通用的表达式，其中，\(z(t)\)是系统的状态变量。

定义 \(z_1\) 是系统的平衡点，如果在 \(t = t_0\) 时刻状态变量的初始值 \(z(t_0)=z_1\)，那么 \(z(t)=z_{f},\forall t\geq t_{0}\)。其中，\(\forall\) 代表“对于任意，或对所有（for all）”。式(6.1.2a)说明当系统初始状态处于平衡点时，状态变量将不会随时间发生改变，例如图 中小球在初始状态时处于 A、B、C 三个位置，同时，根据式(6.1.1)，有：

\[\begin{aligned} &z(t)=z_{i} \\ \Rightarrow &\frac{d z(t)}{d t}=0 \\ \Rightarrow &f(z_{i})=0,\forall t\geq t_{0} \end{aligned} \]

在接下来的分析中，我们将假设系统的平衡点在 \(z_1 =[0]\) 位置，或者可以转换到零点位置，这个假设不会影响系统的一般性。

定义两个重要的稳定性概念：

1. 李雅普诺夫意义下的稳定性：对于任意给定的正实数 $ \varepsilon > 0 $，存在一个正实数 $ \delta(\varepsilon) > 0 $，使得如果系统在初始时刻 $ t_0 $ 的状态 $ |z(t_0)| < \delta(\varepsilon) $，则对于所有 $ t \geq t_0 $，系统状态 $ |z(t)| < \varepsilon $。这意味着系统状态始终在平衡点的邻域内，并且这个邻域的大小可以通过选择足够小的 $ \delta $ 来控制。

2. 渐进稳定性：系统状态不仅保持在平衡点的邻域内，而且最终会收敛到平衡点。数学上表达为，对于上述的 $ \varepsilon $ 和 $ \delta $，如果 $ |z(t_0)| < \delta $，则 $ \lim_{t \to \infty} |z(t)| = 0 $。这表明，随着时间的推移，系统状态 $ z(t) $ 将无限接近于平衡点 $ z_f = 0 $。

渐近稳定性是比李雅普诺夫稳定性更强的条件，因为它不仅要求系统状态保持在平衡点的邻域内，还要求系统状态最终收敛到平衡点。这种稳定性在工程和物理系统中非常重要，因为它确保了系统在受到小扰动后能够返回并稳定在期望的工作点。