相平面与相轨迹

相平面与相轨迹(Phase Portrait)将使用直观的图形来分析微分方程，特别是二阶微分方程。相轨迹描述了系统的状态变量随时间在相平面上的变化轨迹。它的理念也可以拓展到更高维度的系统中。而且不只是线性系统，在非线性系统中也可以利用这一数学工具分析系统的表现。

$-维相轨迹$

首先讨论使用图形化分析一阶微分方程的方法。考虑一个一阶微分方程：

\[\frac{\mathrm{d}z\left(t\right)}{\mathrm{d}t}=z^2\left(t\right)-1 \]

将其在相平面中绘制出来，令横轴为状态变量 $z(t)$,纵轴为$\frac{dz(t)}{\mathrm{d}t}$。式所表达的是一条抛物线，如图所示，它与横坐标之间存在两个交点，分别定义为$z_\mathrm{fl}$和$z_\mathrm{f2}$。当状态变量 $z(t)$位于这两个点时$\frac {P\mathrm{d}}z(t){\mathrm{d}t}\left|_{z(t)=z_{n}}=\frac{\mathrm{d}z(t)}{\mathrm{d}t}\right|_{z(t)=z_{n}}=0$,说明此刻的 $z(t)$将不会随时间发生任何改变。因此，这两个点被称为平衡点(Fquilibrium Point 或者 Fixed Point)。从动态系统的角度考虑，当状态变量 z(t)位于平衡点时的动态系统会保持“静止”的状态。

一旦状态变量偏离平衡点之后，动态系统便会“动”起来，此时我们所关心的是系统能否回到静止的状态(平衡点)。假设状态变量$z(t)$在$t=0$时位于平衡点$z_{\mathrm{fl}}$ 的左边，即 $z(0)=z_11$。根据图像显示，此时$\left.\frac{\mathrm{d}z(t)}{\mathrm{d}t}\right|_{-(x)=-\infty}>0$,这说明随着时间的增加状态变量 $z(t)$也会增加。在图中$,z(t)$将沿着向右的轨迹移动。而在它移动的过程中， $\frac{\mathrm{d}z(t)}{\mathrm{d}t}$始终保持为正值，因此 $z(t)$就会一直增加并保持向右移动。直到 $z(t)=z_{\mathrm{fl}}$ 时才会停下来(此时$\frac{\mathrm{d}z(t)}{\mathrm{d}t}\Bigg|_{z(t)=z_{\mathrm{n}}}=0$)。同理，如果 $t=0$ 时 $z(0)$在 $z_{\mathrm{fl}}$ 的右边，即 $z(0)=z_{\mathrm{lr}}$,此时$\left.\frac{\mathrm{d}z(t)}{\mathrm{d}t}\right|_{z(t)=z_{1r}}<0,z(t)$则会随着时间的增加而向左移动(随着时间的增加而减小),直到平衡点$z_\mathrm{fi}$为止。以上的分析说明，当系统的状态变量$z(t)$小范围偏离平衡点$z_\mathrm{fi}$后，会自动回到平衡点 $z_\mathrm{fl}$。因此$,z_\mathrm{fl}$ 被称为稳定平衡点。

用同样的方法分析另一个平衡点 $z_{12}$,可以发现，无论$z(t)$的初始位置在$z_{t2}$的左边还是右边，它的变化趋势都将会是远离$z_\mathrm{t2}$。因此，$z_{t2}$被称为系统的不稳定平衡点。即状态变量偏离$z_{t2}$之后，就无法再自动地回到$z_{t2}$这个平衡点上。需要注意的是，根据图3.3.1,只有当初始位置$z$(0)在$z_{\mathrm{f2}}$左边，即$z(0)<z_{\mathrm{f2}}$时，状态变量才可以回到平衡点 $z_\mathrm{fl}$。因此$,z_\mathrm{fl}$ 是一个局部(Local)稳定的平衡点。

使用此方法来分析如下非线性微分方程。

利用相平面与相轨迹分析 Logistic 人口繁殖模型，它的微分方程为

\[\frac{\mathrm{d}P(t)}{\mathrm{d}t}=rP(t)\left(1-\frac{P(t)}{K}\right) \]

其中，$P(t)$是人口数，$r$ 是人口的自然增长率($r>0),K$ 是环境承载力。
解：式(3.3.2)可以写成

\[\frac{\mathrm{d}P(t)}{\mathrm{d}t}=rP(t)-\frac{r}{K}P^{2}(t) \]

因为式(3.3.3)存在 $P^2(t)$项，所以它是一个非线性的系统，求解微分方程相较于线性系统会更加困难，使用相平面可以简化分析并直观地理解系统的特征。首先来寻找系统的平衡点，令$\frac{\mathrm{d}P(t)}{\mathrm{d}t}=0$,可得

\[\begin{aligned}&0=rP\left(t\right)-\frac{r}{K}P^{2}\left(t\right)\\\Rightarrow&\begin{cases}P_{f1}=0\\\\P_{f2}=K\end{cases}\\\end{aligned} \]

上面两个平衡点的位置很容易通过物理意义来理解。首先，$P_{\mathrm{fl}}=0$说明这是个无人区，人口自然不会凭空产生出来。而当$P_{t2}=K$ 时，说明人口数达到了环境的承载力，将在此位置保持平衡。$$\frac{\mathrm{d}P(t)}{\mathrm{d}t}=rP(t)-\frac{r}{K}P^{2}(t)$$分成两部分，即 $rP(t$ )和$\frac rKP^2(t)$,并把这两条曲线在相平面中绘制出来，如图所示，系统的平衡点位于两条曲线交叉位置($rP(t)=\frac rKP^2(t)$)。负数对于人口数量没有意义，所以图中只包含了正数部分。横轴为人口数 $P(t)$,纵轴为人口变化率$\frac{\mathrm{d}P(t)}{\mathrm{d}t}$。

首先分析平衡点$P_{\mathrm{fl}}=0$。当有少量人口迁移到此地时(此时假设初始状态为$P(0)=P_1$),此时的人口变化率$\frac{\mathrm{d}P(t)}{\mathrm{d}t}\Bigg|_{P(t)=P}=rP_{1}-\frac rKP_{1}^{2}>0$,因此随着时间的增加，人口将正增长，$P(t)$将沿着正方向轨迹移动并将远离平衡点 $P_\mathrm{fl}$, 所以 $P_\mathrm{fl}$ 是一个不稳定平衡点。这说明一个地方一旦开始出现生命，就会生生不息。同时可以发现，随着$P(t)$不断向正方向移动$,rP(t)$与$\frac rKP^{2}(t)$之间的差距会越来越大，直到$P(t)=\frac K2$时它们边到最大的差值。这说明当人口数 $P(t)<\frac K2$时，人口的增长率在不断地升高，人口加速增长而当$P(t)>\frac K2$以后，增长速度就会减缓，直到达到环境的承载力，即另一个平衡点 $P_{t2}=K$ 时为止。

考虑另一种情况，如果突然间有大量的人口涌人这个地方(此时初始状态为$P(0)=P_2$), 从图中可以发现，此时 $rP_{2}<\frac rKP_{2}^{2}$,所以变化率$\frac{\mathrm{d}}P(t){\mathrm{d}t}\left|_{P(t)=P_{2}}=rP_{2}-\frac rKP_{2}^{2}<0,\right.$ 人口将负增长($P(t)$将沿着负方向移动)。同时可以发现，初始状态下涌入的人越多，负增长的速率就越快，随着人口的下降，负增长的速率也会下降，直到达到环境的承载力，即平衡点$P_{\mathrm{f2}}=K$为止。所以$P_{\mathrm{f2}}$是一个稳定的平衡点。

显示了从$P_{1}$和$P_{2}$开始时人口随时间的变化。它呈现出了与上面分析一致的结果。当初始位置从 $P_{1}$ 开始时，人口的增速会越来越快，直到$\frac K2$后增速开始下降，并达到承载力。而一旦人口超过承载能力 K 以后，将会迅速负增长以达到平衡点。

如图所示，在此模型条件下，人口从$P_1$增长到$K$ 的速度要远远慢于人口从$P_2$ 下降到$K$ 的速度。这是因为一个人从出生到成熟需要十几年的时间，繁衍一代人则需要二三十年的周期。然而，一场战争、一场瘟疫或一场自然灾害却可以在短时间内毁灭大量的人口，甚至造成深远的断代影响。人类是世界上最伟大的物种，自从诞生在这个地球以来就开始了对自然界的征服之旅.仅仅用了很短的时间就站到了食物链的顶端，从此不断地繁衍、进化，变得文明。与此同时，人类的生存环境也在被自身的活动不断地改变着。上述人口模型比较简单且参数较少，它并没有考虑到人口的年龄结构、迁徙、疾病、科技发展或是政策因素的影响。但即便如此，这个简单的数学模型仍然揭示了人类活动和环境承载力之间的关系，并阐述了一个重要的道理：在发展的同时需要对自然法则存一份敬畏之心。尊重自然，尊重科学，人类的文明才能够更加繁荣地发展下夫。

二维相平面和相轨迹

posted @ 2024-09-30 17:34 redufa 阅读(357) 评论(0) 收藏举报

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相平面与相轨迹

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