7.3等参数单元
7.3.1等参变换
(4.4)式与(4.17)式的位移插值函数构造于杆单元的全局坐标系中。有限元积分格式的推导需要在单元的域内进行积分运算，但是对于三角形、四边形或者实体单元，由于被积函数的项数太多，不宜整理成显式，往往采用数值积分。数值积分的方法有Gauss积分、Irons积分与Hammer积分等。为了数值积分公式表达的方便，这些数值积分方法一般都在规则的积分域中给出积分点和积分权系数。因此，单元积分格式的推导也应该在规则的积分域中进行，这个新引入的规则积分域被称为母单元。那么，除了母单元域内位移与节点位移的位移插值关系以外，还需要引入杆单元局部坐标系与规则母单元自然坐标系的插值关系，也即坐标变换关系。
在杆单元的母单元中，坐标的变换范围为节点1处的 -1到节点2处的 +1，如图7 - 1所示。坐标变换的插值表达式可待定
\[x = \alpha_0+\alpha_1 \xi
\]
将\((\xi=-1, x = x_1)\)与\((\xi=+1, x = x_2)\)两点代入(7.38)式，可得到插值函数
\[N_1^{\xi} = \frac{1}{2}(1-\xi), \quad N_2^{\xi} = \frac{1}{2}(1+\xi)
\]
那么，(7.38)式可写为
\[x(\xi) = [N_1^{\xi}(\xi) \quad N_2^{\xi}(\xi)] \left[\begin{array}{c}x_1 \\ x_2\end{array}\right] = N^{\xi}(\xi) x^e
\]
如果将(4.2)式的单元位移插值函数也在母单元内插值，即
\[u^e(\xi) = \alpha_0+\alpha_1 \xi
\]
类似的有\((\xi=-1, u = u_1)\)和\((\xi=-1, u = u_2)\)。于是，(7.41)式可写为
\[u^e = [N_1^{\xi}(\xi) \quad N_2^{\xi}(\xi)] \left[\begin{array}{c}u_1 \\ u_2\end{array}\right] = N^{\xi}(\xi) u^e
\]
可以看到，坐标变换关系式(7.40)与位移的插值表达式(7.42)在形式上是相同的，即\(N^{\xi}=N^e\)。如果坐标变换和函数插值采用相同的节点，并且采用相同的插值函数，则称这种变换为等参变换，这种单元称为等参单元，如图7 - 1所示。
在母单元中，场函数是用自然坐标表述的，又因为在自然坐标中积分限是规则化的-1到+1，因此希望能够在自然坐标内按照规则化的数值积分进行单元的积分运算。为此，还需要建立自然坐标系与全局坐标系之间导数、微元的变换关系。
\[\frac{d N_i^e(x(\xi))}{d x} = \frac{d N_i^e(x)}{d x} = J(\xi) \frac{d N_i^e(\xi)}{d \xi}
\]
其中，\(J(\xi)\)称为雅可比(Jacobian)系数，且得到微元间的变换关系\(d x = J(\xi) d \xi\)，将(7.40)式两端对\(\xi\)求导数，\(J(\xi)\)可以表达为自然坐标的函数
\[J(\xi) = \frac{d x}{d \xi} = \frac{d \bar{N}^e(\xi) x^e}{d \xi}
\]
进一步求解(7.44)式，得到
\[J(\xi) = \frac{d x}{d \xi} = \frac{x_2^e - x_1^e}{2} = \frac{l^e}{2}
\]
所以两节点杆单元的\(J(\xi)\)是常数。于是，整理(7.43)式，得到自然坐标系下\(N_i^e(x)\)对全局坐标\(x\)导数的显式表达式
\[\frac{d N_i^e(x)}{d x} = \frac{1}{J(\xi)} \frac{d N_i^e(\xi)}{d \xi}
\]
于是，(5.15)式在全局坐标系下的单元积分可以转化到自然坐标系下，将(7.46)式代入(5.15)式，得
\[K^e = A E \int_{x_1^e}^{x_2^e} [B^e(x)]^T B^e(x) d x
\]
\[= A E \int_{-1}^{1} \left[ \frac{d N_1^e(x)}{d x} \frac{d N_2^e(x)}{d x} \right]^T \left[ \frac{d N_1^e(x)}{d x} \frac{d N_2^e(x)}{d x} \right] J(\xi) d \xi
\]
于是，得到了自然坐标系下的单元刚度矩阵
\[K^e = AE \int_{-1}^{1} [B^e(\xi)]^T B^e(\xi) \frac{1}{J(\xi)} d\xi
\]
由于(7.47)式的\(B^e(\xi)\)与\(J(\xi)\)是常数，所以积分号内的矩阵是常数矩阵，不必采用数值积分，直接解析积分即可。将(7.39)式与(7.45)式代入(7.47)式，得
\[K^e = \frac{2AE}{l^e} \int_{-1}^{1} \left[ \begin{array}{cc}
-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}
\end{array} \right]^T \left[ \begin{array}{cc}
-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}
\end{array} \right] d\xi
\\
= \frac{2AE}{l^e} \int_{-1}^{1} \left[ \begin{array}{cc}
\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} \\
-\frac{1}{4} & \frac{1}{4}
\end{array} \right] d\xi
\\
= \frac{AE}{l^e} \left[ \begin{array}{cc}
1 & -1 \\
-1 & 1
\end{array} \right]
\]
如果是具有3个节点的等参杆单元，形函数取自然坐标系内的一维3节点拉格朗日插值多项式，即
\[N_1^e = \frac{1}{2}\xi(\xi - 1), \quad N_2^e = (1 - \xi^2), \quad N_3^e = \frac{1}{2}\xi(\xi + 1)
\]
那么，单元应变矩阵\(B^e\)为
\[B^e = \left[ \begin{array}{ccc}
\frac{dN_1^e}{d\xi} & \frac{dN_2^e}{d\xi} & \frac{dN_3^e}{d\xi}
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc}
\xi - 1 & -2\xi & \xi + 1
\end{array} \right]
\]
Jacobi系数为
\[J(\xi) = \frac{dx}{d\xi} = \frac{dN^e(\xi) x^e}{d\xi} = \left( \frac{\xi - 1}{2} \right) x_1^e + (1 - \xi^2) x_2^e + \left( \frac{\xi + 1}{2} \right) x_3^e
\]
于是，得到了自然坐标系下的单元刚度矩阵
\[K^e = AE \int_{-1}^{1} [B^e(\xi)]^T B^e(\xi) \frac{1}{J(\xi)} d\xi
\]
由于(7.47)式的\(B^e(\xi)\)与\(J(\xi)\)是常数，所以积分号内的矩阵是常数矩阵，不必采用数值积分，直接解析积分即可。将(7.39)式与(7.45)式代入(7.47)式，得
\[K^e = \frac{2AE}{l^e} \int_{-1}^{1} \left[ \begin{array}{cc}
-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}
\end{array} \right]^T \left[ \begin{array}{cc}
-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}
\end{array} \right] d\xi
\]
\[= \frac{2AE}{l^e} \int_{-1}^{1} \left[ \begin{array}{cc}
\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} \\
-\frac{1}{4} & \frac{1}{4}
\end{array} \right] d\xi \]
\[= \frac{AE}{l^e} \left[ \begin{array}{cc}
1 & -1 \\
-1 & 1
\end{array} \right]
\]
如果是具有3个节点的等参杆单元，形函数取自然坐标系内的一维3节点拉格朗日插值多项式，即
\[N_1^e = \frac{1}{2}\xi(\xi - 1), \quad N_2^e = (1 - \xi^2), \quad N_3^e = \frac{1}{2}\xi(\xi + 1)
\]
那么，单元应变矩阵\(B^e\)为
\[B^e = \left[ \begin{array}{ccc}
\frac{dN_1^e}{d\xi} & \frac{dN_2^e}{d\xi} & \frac{dN_3^e}{d\xi}
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc}
\xi - 1 & -2\xi & \xi + 1
\end{array} \right]
\]
Jacobi系数为
\[J(\xi) = \frac{dx}{d\xi} = \frac{dN^e(\xi) x^e}{d\xi} = \left( \frac{\xi - 1}{2} \right) x_1^e + (1 - \xi^2) x_2^e + \left( \frac{\xi + 1}{2} \right) x_3^e
\]
浙公网安备 33010602011771号