动力学方程

目录

1. 动力学方程的张量描述

基本方程是：

平衡方程：

\[\sigma_{ij,j} + f_i - \rho u_{i,tt} - \mu u_{i,t} = 0 \quad 在V域内 \]

几何方程：

\[\epsilon_{ij} = \frac{1}{2}(u_{i,j} + u_{j,i}) \quad 在V域内 \]

物理方程：

\[\sigma_{ij} = D_{ijkl}\epsilon_{kl} \quad 在V域内 \]

边界条件：

\[u_i = \bar{u}_i \quad 在 s_u边界上 \]

\[\sigma_{ij}n_j = \bar{T}_i \quad 在s_{\sigma}边界上 \]

初始条件：

\[u_i(x,y,z,0) = \bar{u}_i(x,y,z) \]

\[u_{i,t}(x,y,z,0) = \bar{u}_{i,t}(x,y,z) \]

2. 解释

\(\sigma_{ij}\)应力张量

应力张量是一个二阶张量，包含六个独立的分量（因为它是对称的），表示为：

  • 正应力：

    • \(\sigma_{xx}\): x方向上的正应力
    • \(\sigma_{yy}\): y方向上的正应力
    • \(\sigma_{zz}\): z方向上的正应力

  • 剪应力：

    • \(\sigma_{xy}\): xy平面内的剪应力
    • \(\sigma_{xz}\): xz平面内的剪应力
    • \(\sigma_{yz}\): yz平面内的剪应力

    \(\sigma_{ij}\)分量描述

\[\sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{bmatrix} \]

$ \sigma_{xx} $

\[\sigma_{xx} = \lambda (\epsilon_{xx} + \epsilon_{yy} + \epsilon_{zz}) + 2\mu\epsilon_{xx} \]

  • 体积变形项：\(\lambda (\epsilon_{xx} + \epsilon_{yy} + \epsilon_{zz})\) 表示由于体积变化（即所有方向上的正应变之和）引起的应力贡献。这个项反映了材料抵抗体积改变的能力。
  • 形状变形项：\(2\mu\epsilon_{xx}\) 表示仅由 \(x\) 方向上正应变 \(\epsilon_{xx}\) 引起的应力，反映了材料抵抗形状改变的能力。

\(\sigma_{yy}\)

\[\sigma_{yy} = \lambda (\epsilon_{xx} + \epsilon_{yy} + \epsilon_{zz}) + 2\mu\epsilon_{yy} \]

  • 体积变形项：同上。
  • 形状变形项：\(2\mu\epsilon_{yy}\) 表示仅由 \(y\) 方向上正应变 \(\epsilon_{yy}\) 引起的应力。

\(\sigma_{zz}\)

\[\sigma_{zz} = \lambda (\epsilon_{xx} + \epsilon_{yy} + \epsilon_{zz}) + 2\mu\epsilon_{zz} \]

  • 体积变形项：同上。
  • 形状变形项：\(2\mu\epsilon_{zz}\) 表示仅由 \(z\) 方向上正应变 \(\epsilon_{zz}\) 引起的应力。

\(\sigma_{zz}\)

\[\sigma_{zz} = \lambda (\epsilon_{xx} + \epsilon_{yy} + \epsilon_{zz}) + 2\mu\epsilon_{zz} \]

  • 体积变形项：同上。
  • 形状变形项：\(2\mu\epsilon_{zz}\) 表示仅由 \(z\) 方向上正应变 \(\epsilon_{zz}\) 引起的应力。

\(\sigma_{xy}\)

\[\sigma_{xy} = 2\mu\epsilon_{xy} \]

  • 这个方程表明 \(xy\) 平面内的剪应力 \(\sigma_{xy}\) 仅取决于该平面内的剪应变 \(\epsilon_{xy}\)，并且二者之间是线性关系，比例系数为 \(2\mu\)。

\(\sigma_{xz}\)

\[\sigma_{xz} = 2\mu\epsilon_{xz} \]

  • 同样地，\(xz\) 平面内的剪应力 \(\sigma_{xz}\) 也仅依赖于该平面内的剪应变 \(\epsilon_{xz}\)，二者呈线性关系。

\(\sigma_{yz}\)

\[\sigma_{yz} = 2\mu\epsilon_{yz} \]

  • \(yz\) 平面内的剪应力 \(\sigma_{yz}\) 也只依赖于该平面内的剪应变 \(\epsilon_{yz}\)，二者间的关系也是线性的。

\(\epsilon_{kl}\) 应变张量

应变张量也是一个二阶张量，同样包含六个独立的分量，表示为：

  • 正应变：
    • \(\epsilon_{xx}\): x方向上的正应变
    • \(\epsilon_{yy}\): y方向上的正应变
    • \(\epsilon_{zz}\): z方向上的正应变
  • 剪应变：
    • \(\epsilon_{xy}\): xy平面内的剪应变
    • \(\epsilon_{xz}\): xz平面内的剪应变
    • \(\epsilon_{yz}\): yz平面内的剪应变

\(\epsilon_{ij}\)分量描述

应变张量 \(\mathbf{\epsilon}\) 是一个二阶张量，它描述了物体内部各点相对于未变形状态的位移梯度。

在数学上，应变张量可以表示为：

\[\epsilon_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

其中，\(u_i\) 是物体内部某点在 \(i\) 方向上的位移分量，\(x_j\) 是该点的坐标分量。

应变张量的分量解释

  • \(\epsilon_{ij}\) 表示在 \(j\) 方向单位长度上，由于形变而在 \(i\) 方向产生的相对位移量的一半。
  • 当 \(i = j\) 时，\(\epsilon_{ii}\)（如 \(\epsilon_{11}\)，\(\epsilon_{22}\)，\(\epsilon_{33}\)）表示物体在对应方向（如 \(x_1\)，\(x_2\)，\(x_3\)）上的正应变或线应变。它描述了物体在该方向上长度的相对变化。
  • 当 \(i \neq j\) 时，\(\epsilon_{ij}\)（如 \(\epsilon_{12}\)，\(\epsilon_{23}\)，\(\epsilon_{31}\)）表示物体在 \(i\) 和 \(j\) 方向之间的剪应变。它描述了物体在这两个方向之间相对角度的变化或剪切变形。

应变张量的性质

  • 对称性：由于应变张量的定义中包含 \(\frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right)\)，因此 \(\epsilon_{ij} = \epsilon_{ji}\)，即应变张量是对称的。
  • 无量纲：应变张量的分量是无量纲的，因为它们表示的是相对位移或相对变化。

\(D_{ijkl}\) 弹性张量

对于各向同性材料，弹性张量可以简化为两个独立的弹性常数——拉梅常数 \(\lambda\) 和剪切模量 \(\mu\)。基于这些参数，我们可以写出每个应力分量与应变分量之间的关系。

根据广义胡克定律，对于各向同性材料，我们可以将应力张量的各个分量通过应变张量和弹性常数来具体化：
好的，让我们详细展开方程 \(\sigma_{ij} = D_{ijkl}\epsilon_{kl}\) 并解释每个分量的意义。我们将使用各向同性材料的假设，并采用拉梅常数 \(\lambda\) 和剪切模量 \(\mu\) 来表达弹性张量 \(D_{ijkl}\)。对于三维空间中的应力-应变关系，我们有：

\[\begin{align*} \sigma_{xx} &= \lambda (\epsilon_{xx} + \epsilon_{yy} + \epsilon_{zz}) + 2\mu\epsilon_{xx}, \\ \sigma_{yy} &= \lambda (\epsilon_{xx} + \epsilon_{yy} + \epsilon_{zz}) + 2\mu\epsilon_{yy}, \\ \sigma_{zz} &= \lambda (\epsilon_{xx} + \epsilon_{yy} + \epsilon_{zz}) + 2\mu\epsilon_{zz}, \\ \sigma_{xy} &= 2\mu\epsilon_{xy}, \\ \sigma_{xz} &= 2\mu\epsilon_{xz}, \\ \sigma_{yz} &= 2\mu\epsilon_{yz}. \end{align*} \]

\(\sigma_{ij,j}\) 分量

对于每个方向\(i\)（\(i=1,2,3\)），应力张量的散度\(\sigma_{ij,j}\) 可以写为：

\[\sigma_{ij,j} = \frac{\partial \sigma_{i1}}{\partial x_1} + \frac{\partial \sigma_{i2}}{\partial x_2} + \frac{\partial \sigma_{i3}}{\partial x_3} \]

具体地，我们可以将其展开为三个分量：

对于\(x\) 方向 (\(i=1\))：

\[\sigma_{1j,j} = \sigma_{11,1} + \sigma_{12,2} + \sigma_{13,3} \\ \qquad \qquad =\frac{\partial \sigma_{11}}{\partial x_1} + \frac{\partial \sigma_{12}}{\partial x_2} + \frac{\partial \sigma_{13}}{\partial x_3} \]

这表示作用在\(x\) 方向上单位体积内的净内力。

同理，可以展开y，z，然后

\[ \begin{equation} \sigma_{ij,j} = \left\{ \begin{aligned} &\sigma_{11,1} + \sigma_{12,2} + \sigma_{13,3} &&= \frac{\partial \sigma_{11}}{\partial x_1} + \frac{\partial \sigma_{12}}{\partial x_2} + \frac{\partial \sigma_{13}}{\partial x_3} && \text{(对于 $x$ 方向)} \\ &\sigma_{21,1} + \sigma_{22,2} + \sigma_{23,3} &&= \frac{\partial \sigma_{21}}{\partial x_1} + \frac{\partial \sigma_{22}}{\partial x_2} + \frac{\partial \sigma_{23}}{\partial x_3} && \text{(对于 $y$ 方向)} \\ &\sigma_{31,1} + \sigma_{32,2} + \sigma_{33,3} &&= \frac{\partial \sigma_{31}}{\partial x_1} + \frac{\partial \sigma_{32}}{\partial x_2} + \frac{\partial \sigma_{33}}{\partial x_3} && \text{(对于 $z$ 方向)} \end{aligned} \right. \end{equation} \]

平衡方程

给出的方程是连续介质力学中描述材料内部应力、外力和加速度之间关系的偏微分方程，具体来说它是一个线性动弹性理论中的运动方程。

让我们逐步解析这个方程：

\[\sigma_{ij,j} + f_i - \rho u_{i,tt} - \mu u_{i,t} = 0 \]

这里：

  • $ \sigma_{ij} $是应力张量，描述了作用在材料内的内力分布。
  • 下标 $ ij,j $表示对第二个下标的求和，并且对这个下标进行空间偏导数运算（根据Einstein求和约定）。所以 $ \sigma_{ij,j} $实际上表示的是应力张量的散度，它给出了单位体积上的净内力。
  • $ f_i $是体力（如重力或电磁力）的分量，作用于单位体积的材料上。
  • $ \rho $是材料的密度。
  • $ u_i $是位移向量的分量，表示材料中某点相对于其未变形位置的移动。
  • $ u_{i,tt} $表示位移向量的时间二阶导数，即加速度。
  • $ u_{i,t} $表示位移向量的时间一阶导数，即速度。
  • $ \mu $是一个阻尼系数，用于描述材料内部摩擦导致的能量耗散。

方程右边等于零意味着在考虑的所有效应（内力、外力、惯性和阻尼）平衡时，系统的净加速度为零。

此方程适用于域 V 内，意味着它适用于所考虑的物体或材料的整个体积范围内。如果要解决这个问题，通常需要边界条件来补充，比如指定表面上的应力或位移，以及初始条件（例如，初始时刻的速度和位移），以完整地确定问题的解。

这种类型的方程经常出现在固体力学、地震工程、材料科学等领域，用来研究结构在动态载荷下的响应。

本构方程

方程 \(\sigma_{ij} = D_{ijkl}\epsilon_{kl}\) 是连续介质力学中描述材料应力-应变关系的基本方程，它在V域内成立，意味着这个方程适用于整个体积V内的每一点。下面是对这个方程的详细解释：

  1. 应力张量 \(\sigma_{ij}\)：这是一个二阶张量，描述了材料内部某一点的应力状态。它的分量 \(\sigma_{ij}\) 表示第 \(i\) 个方向上的第 \(j\) 个方向的应力分量。

  2. 弹性张量 \(D_{ijkl}\)：这是一个四阶张量，描述了材料的弹性性质。它的分量 \(D_{ijkl}\) 表示材料在第 \(i\) 个方向和第 \(j\) 个方向上的应力与第 \(k\) 个方向和第 \(l\) 个方向上的应变之间的关系。

  3. 应变张量 \(\epsilon_{kl}\)：这是一个二阶张量，描述了材料内部某一点的应变状态。它的分量 \(\epsilon_{kl}\) 表示第 \(k\) 个方向上的第 \(l\) 个方向的应变分量。

方程 \(\sigma_{ij} = D_{ijkl}\epsilon_{kl}\) 表示，材料内部某一点的应力状态 \(\sigma_{ij}\) 是由该点的应变状态 \(\epsilon_{kl}\) 通过弹性张量 \(D_{ijkl}\) 线性决定的。这个方程是线性弹性理论的基础，它假设材料的应力与应变之间存在线性关系，且这种关系是各向同性的（即在所有方向上都相同）。

在V域内，这个方程适用于整个体积V内的每一点，意味着在材料的任何一点，应力状态都可以通过应变状态和材料的弹性性质来确定。这个方程是材料力学和结构工程中非常重要的工具，它用于预测材料在外部载荷作用下的行为。

好的，让我们详细展开方程 \(\sigma_{ij} = D_{ijkl}\epsilon_{kl}\) 并解释每个分量的意义。我们将使用各向同性材料的假设，并采用拉梅常数 \(\lambda\) 和剪切模量 \(\mu\) 来表达弹性张量 \(D_{ijkl}\)。对于三维空间中的应力-应变关系，我们有：

3. 动力学方程的矩阵描述

平衡方程

在三维空间中，应力张量\(\sigma_{ij}\)是一个3x3的矩阵，可以表示为：

\[\sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \end{bmatrix} \]

位移向量\(u_i\)是一个3x1的列向量，可以表示为：

\[u = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{bmatrix} \]

体力向量\(f_i\)也是一个3x1的列向量，可以表示为：

\[f = \begin{bmatrix} f_1 \\ f_2 \\ f_3 \end{bmatrix} \]

平衡方程可以表示为：

\[\sigma_{ij,j} + f_i - \rho u_{i,tt} - \mu u_{i,t} = 0 \]

其中，\(\rho\)是密度，\(\mu\)是阻尼系数。这个方程可以进一步转化为矩阵形式的偏微分方程：

\[\begin{bmatrix} \sigma_{11,1} + \sigma_{12,2} + \sigma_{13,3} \\ \sigma_{21,1} + \sigma_{22,2} + \sigma_{23,3} \\ \sigma_{31,1} + \sigma_{32,2} + \sigma_{33,3} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} f_1 \\ f_2 \\ f_3 \end{bmatrix} - \rho \begin{bmatrix} u_{1,tt} \\ u_{2,tt} \\ u_{3,tt} \end{bmatrix} - \mu \begin{bmatrix} u_{1,t} \\ u_{2,t} \\ u_{3,t} \end{bmatrix} = 0 \]

或者简写为：

\[\nabla \cdot \sigma + f - \rho \ddot{u} - \mu \dot{u} = 0 \]

其中，\(\nabla \cdot \sigma\)是应力张量的散度，它是一个3x1的列向量。

几何方程

几何方程描述了应变张量\(\epsilon_{ij}\)与位移向量\(u_i\)之间的关系：

\[\epsilon_{ij} = \frac{1}{2}(u_{i,j} + u_{j,i}) \]

这可以转化为矩阵形式：

\[\epsilon = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} u_{1,1} & u_{1,2} & u_{1,3} \\ u_{2,1} & u_{2,2} & u_{2,3} \\ u_{3,1} & u_{3,2} & u_{3,3} \end{bmatrix} + \frac{1}{2} \begin{bmatrix} u_{1,1} & u_{2,1} & u_{3,1} \\ u_{1,2} & u_{2,2} & u_{3,2} \\ u_{1,3} & u_{2,3} & u_{3,3} \end{bmatrix}^T = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 2u_{1,1} & u_{1,2} + u_{2,1} & u_{1,3} + u_{3,1} \\ u_{2,1} + u_{1,2} & 2u_{2,2} & u_{2,3} + u_{3,2} \\ u_{3,1} + u_{1,3} & u_{3,2} + u_{2,3} & 2u_{3,3} \end{bmatrix} \]

即：

\[\epsilon = \begin{bmatrix} \epsilon_{11} & \epsilon_{12} & \epsilon_{13} \\ \epsilon_{21} & \epsilon_{22} & \epsilon_{23} \\ \epsilon_{31} & \epsilon_{32} & \epsilon_{33} \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 2u_{1,1} & u_{1,2} + u_{2,1} & u_{1,3} + u_{3,1} \\ u_{2,1} + u_{1,2} & 2u_{2,2} & u_{2,3} + u_{3,2} \\ u_{3,1} + u_{1,3} & u_{3,2} + u_{2,3} & 2u_{3,3} \end{bmatrix} \]

物理方程

对于各向同性材料，物理方程可以表示为：

\[\sigma = D \cdot \text{vec}(\epsilon) \]

其中，\(D\)是一个6x6的矩阵（Voigt表示法下的弹性模量矩阵），\(\text{vec}(\epsilon)\)是应变张量\(\epsilon\)的Voigt表示法下的6x1列向量。具体地：

\[\text{vec}(\epsilon) = \begin{bmatrix} \epsilon_{11} \\ \epsilon_{22} \\ \epsilon_{33} \\ 2\epsilon_{12} \\ 2\epsilon_{23} \\ 2\epsilon_{31} \end{bmatrix} \]

而矩阵\(D\)可以表示为：

\[D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

其中，\(\lambda\)和\(\mu\)是拉梅常数。

注意，这里的物理方程是近似的，因为它使用了Voigt表示法来将应变张量转换为一个列向量，并与一个6x6的矩阵相乘。这种方法在数值计算和有限元分析中很常见，因为它简化了计算过程。

边界条件和初始条件

边界条件和初始条件可以保持之前的形式不变，因为它们已经是以矩阵或列向量的形式给出的。

综上所述，我们已经将三维弹性动力学的基本方程、边界条件和初始条件完全展开并表达为了矩阵形式。需要注意的是，这里的矩阵形式是基于张量运算的近似表示，并且对于某些复杂的弹性模量矩阵（如各向异性材料的弹性模量矩阵），可能需要进一步的简化或特定假设来得到其具体的矩阵形式。

posted @ 2024-12-11 16:31  redufa  阅读(579)  评论(0)    收藏  举报