FEM_AI_
以下是10个不同的有限元分析相关代码示例，并添加了注释：
- 平面应力问题的Matlab有限元计算（三角形单元）
% 1. 单元刚度矩阵计算函数
function[K,B,D]=Single_triangular(Num_node,Node_sum,E,Poisson)
% Node_sum是3*3表示三角形三个节点坐标，前一个是编号，后两个是坐标
K = zeros(2*Num_node);
% 计算三角形面积相关的系数A
A = 0.5*abs(det([1 Node_sum(1,2) Node_sum(1,3);...
1 Node_sum(2,2) Node_sum(2,3);
1 Node_sum(3,2) Node_sum(3,3)]));
% 构建B矩阵
B=(1/(2*A))*[Node_sum(2,3)-Node_sum(3,3) Node_sum(3,3)-Node_sum(1,3) Node_sum(1,3)-Node_sum(2,3) 0 0 0;...
0 0 0 Node_sum(3,2)-Node_sum(2,2) Node_sum(1,2)-Node_sum(3,2) Node_sum(2,2)-Node_sum(1,2);...
Node_sum(2,3)-Node_sum(3,3) Node_sum(3,3)-Node_sum(1,3) Node_sum(1,3)-Node_sum(2,3)...
Node_sum(3,2)-Node_sum(2,2) Node_sum(1,2)-Node_sum(3,2) Node_sum(2,2)-Node_sum(1,2)];
% 构建D矩阵
D=(E/(1 - Poisson^2))*[1 Poisson 0;Poisson 1 0;0 0 (1 - Poisson)/2];
k = A*B'*D*B;
list=[Node_sum(1,1) Node_sum(2,1) Node_sum(3,1)...
Num_node+Node_sum(1,1) Num_node+Node_sum(2,1) Num_node+Node_sum(3,1)];
for i = 1:6
for j = 1:6
K(list(i),list(j)) = k(i,j);
end
end
end
% 2. 整体刚度矩阵装配函数
function[KK,B,D]=Assemble(Node_information,Element_information,E,Poisson)
Num_node = size(Node_information,1);
Num_element = size(Element_information,1);
KK = zeros(2*Num_node);
B = [];
for i = 1:Num_element
Node_sum=[Element_information(i,2)...
Node_information(Element_information(i,2),2)...
Node_information(Element_information(i,2),3);...
Element_information(i,3)...
Node_information(Element_information(i,3),2)...
Node_information(Element_information(i,3),3);...
Element_information(i,4)...
Node_information(Element_information(i,4),2)...
Node_information(Element_information(i,4),3)];
[K,b,D]=Single_triangular(Num_node,Node_sum,E,Poisson);
B = [B;b];
KK = KK + K;
end
end
% 3. 外载转化至节点函数（这里假设是均布荷载，直接给出节点等效力计算结果）
function F = Load_plane()
% 根据具体问题设置外载对应的节点力，这里未给出具体计算过程，仅示意函数框架
F = [];
end
% 4. 求解节点位移函数
function U = Output_plane_displacement(KK,F)
% 采用最小范数方法求解节点位移
U = lsqminnorm(KK,F);
end
这个代码主要用于解决平面应力问题。首先，Single_triangular函数用于构建单个三角形单元的刚度矩阵，它根据三角形节点坐标计算相关系数构建B和D矩阵，进而得到单元刚度矩阵。Assemble函数则是将所有单元的刚度矩阵装配成整体刚度矩阵。Load_plane函数处理外载到节点的转化，虽然这里未详细给出计算过程，但给出了函数框架。最后Output_plane_displacement函数求解节点位移，这里采用了最小范数方法，这种方法对于刚度矩阵可能存在病态情况时较为准确。
- Matlab框架结构在地震作用下弹性时程分析（使用Newmark - Beta方法和瑞丽阻尼矩阵）
% 1. 构建结构刚度矩阵函数（假设结构由杆单元组成）
function K = StiffnessMatrix(Elements,Nodes,E,A)
% Elements为单元连接信息，Nodes为节点坐标，E为弹性模量，A为横截面积
numNodes = size(Nodes,1);
K = zeros(2*numNodes,2*numNodes);
for i = 1:size(Elements,1)
node1 = Elements(i,1);
node2 = Elements(i,2);
dx = Nodes(node2,1) - Nodes(node1,1);
dy = Nodes(node2,2) - Nodes(node1,2);
L = sqrt(dx^2 + dy^2);
k = (E*A/L)*[1 -1; -1 1];
dof1 = [2*node1 - 1; 2*node1];
dof2 = [2*node2 - 1; 2*node2];
K(dof1,dof1) = K(dof1,dof1) + k;
K(dof2,dof2) = K(dof2,dof2) + k;
K(dof1,dof2) = K(dof1,dof2) - k;
K(dof2,dof1) = K(dof2,dof1) - k;
end
end
% 2. 构建瑞丽阻尼矩阵函数
function C = RayleighDampingMatrix(M,K,alpha,beta)
% M为质量矩阵，K为刚度矩阵，alpha和beta为阻尼系数
C = alpha*M + beta*K;
end
% 3. Newmark - Beta方法求解函数
function [U, V, A] = NewmarkBetaSolve(M,C,K,F,dt,gamma,beta)
% M为质量矩阵，C为阻尼矩阵，K为刚度矩阵，F为外载荷向量，dt为时间步长
% gamma和beta为Newmark - Beta方法的参数
numDOF = size(M,1);
U = zeros(numDOF,1);
V = zeros(numDOF,1);
A = zeros(numDOF,1);
% 计算有效刚度矩阵
K_eff = K + gamma/(beta*dt)*C + 1/(beta*dt^2)*M;
for t = 1:length(F)
F_eff = F(t,:)' + (M/(beta*dt^2))*U + (M/(beta*dt))*V + (1/2 - beta)*M*A;
delta_U = K_eff\F_eff;
A = 1/(beta*dt^2)*delta_U - 1/(beta*dt)*V - (1/2 - beta)/beta*A;
V = V + gamma*dt*A + (1 - gamma)*dt*A;
U = U + delta_U;
end
end
在这个代码中，StiffnessMatrix函数构建框架结构的刚度矩阵，通过单元连接信息和节点坐标计算每个单元对整体刚度矩阵的贡献并累加。RayleighDampingMatrix函数根据质量矩阵、刚度矩阵和给定的阻尼系数构建瑞丽阻尼矩阵。NewmarkBetaSolve函数采用Newmark - Beta方法求解结构在地震作用下的位移、速度和加速度响应。其中，首先计算有效刚度矩阵，然后在每个时间步长内计算等效荷载向量，进而求解位移增量，更新加速度、速度和位移。
- 基于Matlab的拓扑优化中的有限元分析（99行代码简化示例）
function [U]=FE(nelx,nely,x,penal)
% nelx和nely分别为x和y方向的单元数量，x为设计变量（例如密度），penal为惩罚因子
[KE] = lk; % 假设lk函数用于计算单元刚度矩阵KE
K = sparse(2*(nelx+1)*(nely+1), 2*(nelx+1)*(nely+1));
F = sparse(2*(nely+1)*(nelx+1),1);
U = sparse(2*(nely+1)*(nelx+1),1);
for ely = 1:nely
for elx = 1:nelx
n1 = (nely+1)*(elx-1)+ely;
n2 = (nely+1)*elx +ely;
edof = [2*n1-1; 2*n1; 2*n2-1; 2*n2; 2*n2+1; 2*n2+2;2*n1+1; 2*n1+2];
K(edof,edof) = K(edof,edof) + x(ely,elx)^penal*KE;
end
end
% 这里假设后续会进行求解操作，例如使用K\F求解位移U，但未完整给出
end
这个代码是拓扑优化中的有限元分析部分。函数FE的目的是构建整体刚度矩阵K。通过两层循环遍历每个单元，根据单元的位置计算节点编号向量edof，然后将单元刚度矩阵KE根据设计变量x和惩罚因子penal累加到整体刚度矩阵K中相应的位置。虽然代码没有完整给出位移求解部分，但展示了拓扑优化中构建刚度矩阵的关键步骤，这种矩阵构建方式是基于矩形单元的拓扑优化常见的操作，并且可以看到Matlab中利用矩阵运算来高效构建矩阵的特点。
- 简单的梁结构有限元分析（Matlab）
% 1. 梁单元刚度矩阵计算函数
function [k] = BeamElementStiffness(E, I, L)
% E为弹性模量，I为惯性矩，L为梁单元长度
k = (E*I/L^3)*[12 6*L -12 6*L;
6*L 4*L^2 -6*L 2*L^2;
-12 -6*L 12 -6*L;
6*L 2*L^2 -6*L 4*L^2];
end
% 2. 整体刚度矩阵装配函数（假设梁由多个单元组成）
function [K] = AssembleBeamStiffness(Elements,Nodes,E, I)
numNodes = size(Nodes,1);
K = zeros(2*numNodes,2*numNodes);
for i = 1:size(Elements,1)
node1 = Elements(i,1);
node2 = Elements(i,2);
L = sqrt((Nodes(node2,1) - Nodes(node1,1))^2 + (Nodes(node2,2) - Nodes(node1,2))^2);
k = BeamElementStiffness(E, I, L);
dof1 = [2*node1 - 1; 2*node1; 2*node2 - 1; 2*node2];
K(dof1,dof1) = K(dof1,dof1) + k;
end
end
% 3. 施加荷载函数（假设梁一端受集中力）
function [F] = ApplyLoad()
F = zeros(2*numNodes,1);
F(1) = -1000; % 假设在第一个节点的x方向施加1000N的力
return;
end
% 4. 求解梁节点位移函数
function [U] = SolveBeamDisplacement(K,F)
U = K\F;
end
在这个代码示例中，BeamElementStiffness函数用于计算单个梁单元的刚度矩阵，它基于梁的弹性模量E、惯性矩I和长度L。AssembleBeamStiffness函数将所有梁单元的刚度矩阵装配成整体刚度矩阵，通过遍历每个单元，计算单元长度并获取单元刚度矩阵，然后将其累加到整体刚度矩阵的相应位置。ApplyLoad函数用于施加荷载，这里简单地假设在梁的一端节点的x方向施加了1000N的力。最后SolveBeamDisplacement函数通过求解线性方程组K\F得到梁节点的位移向量。
- 平面热传导问题的有限元分析（Matlab）
% 1. 单元传导矩阵计算函数
function [k] = ThermalElementConductivity(kappa,Nodes)
% kappa为热传导系数，Nodes为单元节点坐标
n = size(Nodes,1);
k = zeros(n,n);
for i = 1:n
for j = 1:n
if i == j
k(i,j) = sum([kappa(1) kappa(2) kappa(3)]);
else
rij = sqrt((Nodes(i,1) - Nodes(j,1))^2+(Nodes(i,2) - Nodes(j,2))^2);
kij = kappa(rij)*2*pi/rij;
k(i,j) = -kij;
end
end
end
end
% 2. 整体传导矩阵装配函数
function [K] = AssembleThermalConductivity(Elements,Nodes,kappa)
numNodes = size(Nodes,1);
K = zeros(numNodes,numNodes);
for i = 1:size(Elements,1)
NodeList = Elements(i,:);
NodeCoords = Nodes(NodeList,:);
k = ThermalElementConductivity(kappa,NodeCoords);
for m = 1:size(NodeList,2)
for n = 1:size(NodeList,2)
K(NodeList(m),NodeList(n)) = K(NodeList(m),NodeList(n))+k(m,n);
end
end
end
end
% 3. 热源向量构建函数
function [F] = ThermalSource(Q,Nodes)
% Q为热源分布函数，Nodes为节点坐标
numNodes = size(Nodes,1);
F = zeros(numNodes,1);
for i = 1:numNodes
F(i) = Q(i)*Nodes(i,1)*Nodes(i,2); % 这里假设一种简单的热源分布与节点坐标相关的计算
end
return;
end
% 4. 求解温度分布函数
function [T] = SolveTemperature(K,F)
T = K\F;
end
这个代码用于解决平面热传导问题。ThermalElementConductivity函数计算单个单元的热传导矩阵，考虑了热传导系数和单元节点坐标，根据节点之间的距离计算热传导关系。AssembleThermalConductivity函数将各个单元的热传导矩阵装配成整体的热传导矩阵。ThermalSource函数构建热源向量，这里假设了一种简单的与节点坐标相关的热源分布计算方式。最后SolveTemperature函数通过求解线性方程组K\F得到温度分布向量T。
- 二维弹性力学问题的有限元分析（Python示例，使用NumPy库）
import numpy as np
# 1. 计算三角形单元刚度矩阵
def triangle_stiffness_matrix(E, nu, nodes):
# E为弹性模量，nu为泊松比，nodes为三角形单元节点坐标（3x2矩阵）
C = np.array([[1, nu, 0], [nu, 1, 0], [0, 0, (1 - nu) / 2]]) * E / (1 - nu ** 2)
area = 0.5 * np.abs(np.linalg.det(np.array([[1, nodes[0][0], nodes[0][1]],
[1, nodes[1][0], nodes[1][1]],
[1, nodes[2][0], nodes[2][1]]])))
B = np.array([[nodes[1][1] - nodes[2][1], nodes[2][1] - nodes[0][1], nodes[0][1] - nodes[1][1], 0, 0, 0],
[0, 0, 0, nodes[2][0] - nodes[1][0], nodes[0][0] - nodes[2][0], nodes[1][0] - nodes[0][0]],
[nodes[1][1] - nodes[2][1], nodes[2][1] - nodes[0][1], nodes[0][1] - nodes[1][1],
nodes[2][0] - nodes[1][0], nodes[0][0] - nodes[2][0], nodes[1][0] - nodes[0][0]]]) / (2 * area)
k = area * np.dot(np.dot(B.T, C), B)
return k
浙公网安备 33010602011771号