P8186 [USACO22FEB] Redistributing Gifts S 题解

题目描述

FJ 有 \(N\) 个礼物给他的 \(N\) 头奶牛，这 \(N\) 个礼物和 \(N\) 头奶牛都分别按顺序被标记为从 \(1\) 到 \(N\) 的整数。每头奶牛都有一个愿望单，记录着一个含有 \(N\) 个礼物的排列。比起在愿望单中出现更晚的礼物，奶牛更喜欢先出现在愿望单中的礼物。

因为 FJ 太懒了，他直接把 \(i\) 号礼物分配给了 \(i\) 号奶牛。现在，奶牛们聚在了一起，决定重新分配礼物，以便在重新分配后，每头奶牛都能得到跟原来一样，或是它更喜欢的礼物。

对于每个 \(i\)（\(1\le i\le N\)），计算出重新分配后， \(i\) 号奶牛可能拿到的最好的礼物（这个奶牛经过重新分配后能拿到的最喜欢的礼物）。

输入格式

第一行输入 \(N\)。之后 \(N\) 行每行包含一个奶牛的愿望单。保证这 \(N\) 行都是从 \(1\) 到 \(N\) 的排列，即每一行都不按顺序不重不漏地包含 \(1\) 到 \(N\) 中的每个整数。

输出格式

输出 \(N\) 行，第 \(i\) 行输出重新分配后 \(i\) 号奶牛可能得到的最好礼物。

说明/提示

\(2 \sim 3\) 号测试点满足 \(N \le 8\)。对于 \(100\%\) 的数据，满足 \(1 \le N \le 500\)。

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分析

前置知识点：Floyd 传递闭包。

Floyd 本身用于求解多源最短路径的问题。其代码如下。

for(int k=1; k<=n; k++)
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=1; j<=n; j++)
            f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k][j]);

如果我们不记录 \(i\)，\(j\) 之间的最短路，而是改为记录 \(i\)，\(j\) 之间是否能够到达，我们该怎么做呢？

我们设 \(dis_{i,j}\) 表示 \(i\)，\(j\) 之间是否直接到达，满足 \(dis_{i,j} \in \{0,1\}\)。如果 \(i\)，\(j\) 之间能够到达，那么两个节点一定满足以下两个条件中至少一个：

\[\begin{cases} dis_{i,j} = 1\\ dis_{i,k} = 1 \wedge dis_{k,j} = 1\\ \end{cases}\]

其中 \(k\) 为一个中转节点。我们可以用语句表示。即 f[i][j] = f[i][j] || (f[i][k] && f[k][j]) 或者 f[i][j] |= f[i][k] & f[k][j]。于是我们就成功记录了 \(i\)，\(j\) 之间是否能够到达。这就是 Floyd 传递闭包。

for(int k=1; k<=n; k++)
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=1; j<=n; j++)
            link[i][j] |= link[i][k] & link[k][j];

对于这道题，如果一个礼物可以到达这个奶牛原本就能拿到的礼物，并且奶牛更喜欢这个礼物，那么答案 \(+1\)，否则就继续遍历。如果走到奶牛原本得到的礼物就去统计下一个。代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;
using ll = long long;
ll N, m[10005][10005], link[10005][10005];

int main(void){
    cin >> N;
    for(int i=1; i<=N; ++i)
        for(int j=1; j<=N; ++j)
            cin >> m[i][j];
    for(int i=1; i<=N; ++i)
        for(int j=1; j<=N; ++j){
            link[i][m[i][j]] = 1;
            if(m[i][j] == i)
                break;
        }
    for(int k=1; k<=N; ++k)
        for(int i=1; i<=N; ++i)
            for(int j=1; j<=N; ++j)
                link[i][j] |= (link[i][k] & link[k][j]);
    for(int i=1; i<=N; ++i)
        for(int j=1; j<=N; ++j)
            if(link[i][m[i][j]] && link[m[i][j]][i]){
                cout << m[i][j] << '\n';
                break;
            }
    return 0;
}