P1112 波浪数 题解

题目描述

波浪数是在一对不同数字之间交替转换的数，如 \(1212121\)，双重波浪数则是指在两种进制下都是波浪数的数，如十进制数 \(191919\) 是一个十进制下的波浪数，它对应的十一进制数 \(121212\) 也是一个波浪数，所以十进制数 \(191919\) 是一个双重波浪数。特别地，只有一位的数也算作波浪数，例如 \(1\)。类似的可以定义三重波浪数，三重波浪数在三种不同的进制中都是波浪数，甚至还有四重波浪数，如 \(300_{(10)}=606_{(7)}=363_{(9)}=454_{(8)}=1\mathtt{A}1_{(13)}\)，下标表示采用的进制。你的任务就是在指定范围内找出双重、三重、四重波浪数。

输入格式

单独一行包含五个用空格隔开的十进制整数 \(l, r, L, R, k\)。\([l, r]\) 表示应当考虑的进制的范围，\([L,R]\) 表示应当考虑的数字的范围，\(k\) 表示你应该找的波浪数的重数。

输出格式

从小到大以十进制形式输出指定范围内的指定重数的波浪数。一行输出一个数。

数据范围及约定

对于全部数据，保证 \(2\le l\le r\le 32\)，\(1\le L\le R\le 10^7\)，\(k\in \{2, 3, 4\}\)。

---

解析

首先，首先理解题意：任意一个波浪数 \(W\) 中第 \(x\) 位的数字 \(W_x\) 满足条件：

\[\text{check}(x) = \begin{cases} \text{return if } W_x \neq W_{x-1}\space(W.\text{size}() \geq 3)\\ \text{return if } W_x \neq W_{x+1}\space∧\space W_x = W_{x+2}\space(W.\text{size}() = 2)\\ \text{return true}\space(W.\text{size}() = 1)\\ \end{cases}\]

我们考虑模拟进制转换的过程，产生转换后的数字字符串，再对其进行判断数据。

\(82\text{ pts}\) 做法：转换字符串

#include <iostream>
#include <string>
#include <algorithm>
using namespace std;
int l, r, L, R, k, cnt;

bool check(int t, int b){
    int T = t;
    string res = "";
    while(T){ // 模拟进制转换
        int r = T % b; // 余数
        char c;
        T /= b;
        if(r >= 10) c = 'A' + r - 10; // 转化为字符
        else c = r + '0';
        res += c;
    }
    reverse(res.begin(), res.end()); // 由于处理使用最小到最大位处理，所以要反转字符串
    if(res.size() < 2) return true; 
    else if(res.size() == 2 && res[0] != res[1]) return true;
    else if(res[0] == res[1]) return false;
    else{
        for(int i=2; i<res.size(); ++i) // 枚举每一位查看是否与波浪数的定义不一样
            if(res[i-2] != res[i])
                return false;
        return true;
    }
}

int main(void){
    cin >> l >> r >> L >> R >> k;
    for(int num=L; num<=R; ++num){ // 枚举范围 [l, r] 之内的数字
        cnt=0;
        for(int base=l; base<=r; ++base) // 枚举范围 [L, R] 之内的基数
            if(check(num, base)) // 检查
                cnt++;
        if(cnt == k){
            cout << num << endl;
        }
    }
    return 0;
}

\(100\text{ pts}\) 做法

不转换进制，而是在转换时判断字符 \(W_i\) 和之前的 \(W_{i-2}\) 是否相等。

#include <iostream>
...
inline int read();
inline void write(int x);

bool check(int t, int b){
    if(t < b) return true;
    char w[2] = {};
    // 取出两个字符
    w[0] = t % b; t /= b;
    w[1] = t % b; t /= b;
    if(w[0] == w[1]) // W.size() = 2 时判断
        return false;
    int f = 0;
    while(t){
        if(w[f] != t % b) // 如果不和前面的前面的字符相同
            return false;
        t /= b;
        f ^= 1; // 转换索引，即 f=(f==1)?0:1;
    }
    return true;
}

int main(void){
    ......
}

return 0;！