题解：P8343 [COCI2021-2022#6] Zemljište

题意

给定一个 \(r\times s\) 的矩阵，每个点给定一个权值，要求求出一个子矩阵，其权值和为 \(w\)，使 \(|w-a|+|w-b|\) 最小。

分析

考虑枚举子矩阵。

首先预处理二维前缀和用于快速计算矩阵和。

可以暴力枚举左上角 \((x_1, y_1)\) 和右下角 \((x_2, y_2)\)，这个做法是 \(O(n^4)\) 的，显然一般情况下不能通过本题。

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因为每个点的权值都大于 \(0\)，所以显然一个确定了 \(x_1, x_2, y_1\) 矩阵的权值随 \(y_2\) 的递增而单调递增。

考虑枚举 \(x_1, x_2\)，在确定 \(x_1, x_2\) 后用双指针移动 \(y_1, y_2\) 求出权值小于等于 \(\max(a,b)\) 的最大权值的矩阵以及权值大于 \(\max(a,b)\) 的最小权值的矩阵，用它们的权值更新答案。

这时时间复杂度下降至 \(O(n^3)\)，可以通过本题。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 505

int64_t va[maxn][maxn];

#define query(x1, y1, x2, y2) (va[x2][y2]-va[x2][y1-1]-va[x1-1][y2]+va[x1-1][y1-1])

int main()
{
    int n, m, a, b;
    cin>>n>>m>>a>>b;
    if(a>b) swap(a, b);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            cin>>va[i][j];
    for(int i=1;i<=n+1;i++)
        for(int j=1;j<=m+1;j++)
            va[i][j]+=va[i-1][j]+va[i][j-1]-va[i-1][j-1];
    int64_t ans=0x7fffffff;
    for(int l=1;l<=n;l++)
        for(int r=l;r<=n;r++)
            for(int x=1, y=1;x<=m;x++)
            {
                if(y<x) y=x;
                while(y+1<=m&&query(l, x, r, y+1)<=b) y++;
                int64_t v=query(l, x, r, y);
                ans=min(ans, abs(a-v)+abs(b-v));
                v=query(l, x, r, y+1);
                ans=min(ans, abs(a-v)+abs(b-v));
            }
    cout<<ans;
}