题解：P3968 [TJOI2014] 电源插排

题意

维护一个 \(01\) 串，初始均为 \(0\)，支持：

• 单点将 \(1\) 修改为 \(0\)。
• 查询区间中 \(1\) 的个数。
• 查询最长且最靠右的连续 \(0\) 段的靠右的中点，并将其改为 \(1\)。

分析

第一个操作和第二个操作显然使用动态开点线段树维护。

我们只需要解决第三个操作。

我们用平衡树存储连续的 \(0\) 段的左右端点。

维护两棵平衡树，一棵按区间的左端点从小到大排序，另一棵以区间长度为第一关键字，左端点为第二关键字从大到小排序。

询问的时候只需要在第二棵平衡树中取出其最大的元素。

考虑修改操作带来的影响。

单点修改为 \(1\) 会导致一段连续的 \(0\) 段断开成为至多 \(2\) 段。

分类讨论处理一下段的分裂情况。

单点修改为 \(0\) 会导致至多两段连续的 \(0\) 段合并为同一段。

在第一棵树上二分找出插入点前后的连续段，同样分类讨论一下段的合并情况。

时间复杂度 \(O(q\log n+q\log q)\)。

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发现平衡树只需要支持查前驱后继，所以可以使用 set 实现。

可以向 set 中加入两个哨兵区间 \([-1,-2],[n+2,n+1]\) 以避免越界分类讨论。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

struct SegT
{
    struct node
    {
        uint32_t sum;
        node *lc, *rc;
        node() {lc=rc=0; sum=0;}
    }*rt;

    #define mid ((l+r)>>1)
    #define lson x->lc, l, mid
    #define rson x->rc, mid+1, r

    void modify(node *&x, int l, int r, int p, int v)
    {
        if(!x) x=new node;
        x->sum+=v;
        if(l==r) return;
        if(p<=mid) modify(lson, p, v);
        if(p>mid)  modify(rson, p, v);
    }

    uint32_t query(node *x, int l, int r, int L, int R)
    {
        if(!x) return 0;
        if(L<=l&&r<=R) return x->sum;
        uint32_t ret=0;
        if(L<=mid) ret+=query(lson, L, R); 
        if(R>mid)  ret+=query(rson, L, R); 
        return ret;
    }
}tr;

struct itv
{
    int l, r;
    int pos() {return (l+r+1)>>1;}
    itv(int L, int R) {l=L, r=R;}
};

#define len(x) (x.r-x.l+1)

struct cmp1{bool operator()(itv a, itv b)const{return a.l<b.l;}};
struct cmp2{bool operator()(itv a, itv b)const{return len(a)==len(b)?a.l>b.l:len(a)>len(b);}};

set<itv, cmp1> s1;
set<itv, cmp2> s2;
map<int, int> pos;

void emplace(int x, int y) {s1.emplace(x, y), s2.emplace(x, y);}
void emplace(itv &x) {s1.emplace(x), s2.emplace(x);}
void erase(itv &x) {s1.erase(x), s2.erase(x);}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    int n, q, l, r, k;
    cin>>n>>q;
    emplace(1, n);
    emplace(-1, -2);
    emplace(n+2, n+1);
    while(q--)
    {
        cin>>k;
        if(!k)
            cin>>l>>r, 
            cout<<tr.query(tr.rt, 1, n, l, r)<<'\n';
        else
        {
            if(!pos[k])
            {
                auto seg=*s2.begin();
                erase(seg);
                int p=seg.pos();
                pos[k]=p;
                tr.modify(tr.rt, 1, n, p, 1);
                if(p!=seg.l) emplace(seg.l, p-1);
                if(p!=seg.r) emplace(p+1, seg.r);
            }
            else
            {
                int p=pos[k];
                pos[k]=0;
                tr.modify(tr.rt, 1, n, p, -1);
                auto it=s1.lower_bound({p, 0});
                auto seg2=*it, seg1=*--it;
                if(seg1.r==p-1&&seg2.l==p+1)
                    erase(seg1), erase(seg2),
                    emplace(seg1.l, seg2.r);
                else if(seg1.r==p-1) erase(seg1), emplace(seg1.l, p);
                else if(seg2.l==p+1) erase(seg2), emplace(p, seg2.r);
                else emplace(p, p);
            }
        }
    }
}