题解：P2521 [HAOI2011] 防线修建

题意

给定若干个点，实现下列操作：

• 删除一个点。
• 查询上凸包的周长。

分析

建议先完成【模板】二维凸包。

对于这个删除操作，我们没有好的方法去在线维护它。

考虑离线询问。

这样删除操作就变成了插入操作。

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插入一个新点有如下两种情况：

• 新点在凸包内。
• 新点在凸包外。

我们回忆一下 Andrew 算法的过程：先将点按 \(x\) 排序，然后单调栈维护凸包。

这给了我们启示，如果一个点 \((x_i,y_i)\) 能加入凸包中，那么原凸包中和直线 \(x=x_i\) 相交的边一定被删除。

将原点集按 \(x\) 排序，这条边连接的两个点显然就是 \((x_i,y_i)\) 的前驱和后继。

考虑用平衡树维护，判断点 \((x_i,y_i)\) 与该边的位置关系即可。

在凸包内那么就不用更新凸包。

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考虑该点在凸包外的情况。

我们先将该点加入凸包并更新答案。

我们从该点出发，向前后分别扫一遍，将不符合凸包性质的点删除并更新答案。

如果一个点符合凸包性质，那么显然它前或后的点也满足凸包性质，就结束循环。

每个点最多进一次凸包点集，也最多出一次凸包点集，时间复杂度 \(O(m\log m)\)。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 100005

struct vec
{
    double x, y;
    vec(double X=0, double Y=0): x(X), y(Y) {}
    friend vec operator-(vec a, vec b) {return {a.x-b.x, a.y-b.y};    }
    friend int cross    (vec a, vec b) {return a.x*b.y-a.y*b.x;       }
    auto operator<=>    (vec b) const  {return x==b.x?y<=>b.y:x<=>b.x;}
    double length       ()             {return sqrt(x*x+y*y);         }
};

set<vec> s;
double ans;

bool chk(vec A)
{
    auto it=s.lower_bound(A);
    vec B=*it, C=*--it;
    return cross(B-A, B-C)<=0;
}

auto pre(set<vec>::iterator it) {return --it;}
auto aft(set<vec>::iterator it) {return ++it;}

bool erase(set<vec>::iterator it)
{
    if(it==s.begin()) return 0;
    auto itl=pre(it);
    auto itr=aft(it);
    if(itr==s.end()) return 0;
    vec a=*it-*itl, b=*itr-*it;
    if(cross(a, b)<0) return 0;
    ans+=(*itr-*itl).length()-a.length()-b.length();
    s.erase(it);
    return 1;
    
}

void insert(vec A)
{
    if(chk(A)) return;
    auto it=s.insert(A).first;
    auto pr=pre(it);
    auto af=aft(it);
    ans+=(*it-*pr).length()+(*it-*af).length()-(*af-*pr).length();
    while(erase(pre(it)));
    while(erase(aft(it)));
}

vector<pair<int, int>> vc;
vec dts[maxn];
bool del[maxn];
vector<double> Ans;

int main()
{
    int n, m, x0, y0;
    cin>>n>>x0>>y0>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++) 
        cin>>dts[i].x>>dts[i].y;
    int q;
    cin>>q;
    for(int i=1, op, x=0;i<=q;i++)
    {
        cin>>op;
        if(op==1) cin>>x, del[x]=1;
        vc.emplace_back(op, x);
    }
    s.emplace(0, 0);
    s.emplace(n, 0);
    s.emplace(x0, y0);
    ans=vec(x0, y0).length()+vec(x0-n, y0).length();
    for(int i=1;i<=m;i++) if(!del[i]) insert(dts[i]);
    for(auto [op, x]:views::reverse(vc))
    {
        if(op==1) insert(dts[x]);
        else Ans.emplace_back(ans);
    }
    for(auto i:views::reverse(Ans)) 
        printf("%.2lf\n", i);
}