动态规划入门——背包问题

01背包问题之1

问题描述

有n个重量和价值分别为w_i，v_i的物品。从这些物品中选出总重量不超过W的物品，求所有挑选方案中价值总和的最大值。在这里，每个物品只能选一件。

限制条件：

1≤n≤100

1≤w_i,v_i≤100

1≤W≤10000

样例

输入

n = 4

(w, v) = {(2,3),(1,2),(3,4),(2,2)}

W = 5

输出

7（选择0、1、3号物品）

样例代码

暴力法（复杂度O（2ⁿ））

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n;
int w[105], v[105];
int rec(int i, int j)    //i为物品序号，j为可用重量
{
    int res;
    if(i == n)
        res = 0;
    else if(j < w[i])
        res = rec(i+1, j);
    else
        res = max(rec(i+1, j), rec(i+1, j - w[i])+v[i]);
    //rec(i+1, j)为不选该物品，rec(i+1, j - w[i])+v[i])为选择该物品
    return res;
}
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    int i;
    for(i = 0; i < n; i++)
        scanf("%d%d", &w[i], &v[i]);
    int W;
    scanf("%d", &W);
    printf("%d\n", rec(0, W));
    return 0;
}

上述算法复杂度太高，于是用了个记忆化数组，如果在递归时该内容已经在之前出现过，直接返回该值

此时复杂度为O（nW）

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n;
int w[105], v[105];
int dp[105][105];
int rec(int i, int j)
{
    if(dp[i][j] > 0)    //若出现过，直接返回该值
        return dp[i][j];
    int res;
    if(i == n)
        res = 0;
    else if(j < w[i])
        res = rec(i+1, j);
    else
        res = max(rec(i+1, j), rec(i+1, j - w[i])+v[i]);
    return dp[i][j] = res;
}
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    int i;
    for(i = 0; i < n; i++)
        scanf("%d%d", &w[i], &v[i]);
    int W;
    scanf("%d", &W);
    rec(0, W);
    printf("%d\n", rec(0, W));
    return 0;
}

这是用递归的方式写的，再来看一下用循环的方式写的01背包

复杂度同上

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n;
int w[105], v[105];
int dp[105][105];
int rec(int W)
{
    int i, j;
    for(i = 0; i <n; i++)
    {
        for(j = 0; j <= W; j++)
        {
            if(j < w[i])
            dp[i+1][j] = dp[i][j];
            else
            dp[i+1][j] = max(dp[i][j], dp[i][j-w[i]] + v[i]);
        }
    }
    return 0;
}
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    int i;
    for(i = 0; i < n; i++)
        scanf("%d%d", &w[i], &v[i]);
    int W;
    scanf("%d", &W);
    rec(W);
    printf("%d\n", dp[n][W]);
    return 0;
}

完全背包问题

问题描述

有n种重量和价值分别为w_i和v_i的物品。从这些物品中挑选总重量不超过W的物品，求出挑选物品价值总和的最大值。在这里每件物品可以挑选任意多件。

1≤n≤100

1≤w_i,v_i≤100

1≤W≤10000

样例

输入

n = 3

(w, v) = {(2,3),(3,4),(4,5)}

W = 7

输出

10（0号物品选1个，2号物品选2个）

样例代码

由可选任意多件可得下方代码

int rec(int W)
{
    int i, j, k;
    for(i = 0; i <n; i++)
    {
        for(j = 0; j <= W; j++)
        {
            for(k = 0; k*w[i] <= j; k++)
                dp[i+1][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j-k*w[i]+k*v[i]);
        }
    }
    return 0;
}

显而易见，该代码复杂度为O（nW²），并不是最优解

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n;
int w[105], v[105];
int dp[105][105];
int rec(int W)
{
    int i, j;
    for(i = 0; i <n; i++)
    {
        for(j = 0; j <= W; j++)
        {
            if(j < w[i])
            dp[i+1][j] = dp[i][j];
            else
            dp[i+1][j] = max(dp[i][j], dp[i+1][j-w[i]] + v[i]);　　
                                   //完全背包为i
        }
    }
    return 0;
}
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    int i;
    for(i = 0; i < n; i++)
        scanf("%d%d", &w[i], &v[i]);
    int W;
    scanf("%d", &W);
    rec(W);
    printf("%d\n", dp[n][W]);
    return 0;
}

此复杂度为（nW），对比一下可以发现，与01背包问题代码略有相像

此外，01背包问题和完全背包问题也可以通过不断重复利用一个数组来实现（小心使用，易出bug）

01背包

int rec(int W)
{
    int i, j;
    for(i = 0; i < n; i++)
    {
        for(j = W; j >= w[i]; j--)
        {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]] + v[i]);
        }
    }
    return 0;
}

完全背包

int rec(int W)
{
    int i, j;
    for(i = 0; i < n; i++)
    {
        for(j = w[i]; j <= W; j++)
        {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]] + v[i]);
        }
    }
    return 0;
}

01背包问题之2

问题描述

有n个重量和价值分别为w_i，v_i的物品。从这些物品中选出总重量不超过W的物品，求所有挑选方案中价值总和的最大值。在这里，每个物品只能选一件。

限制条件：

1≤n≤100

1≤w_i≤10⁷

1≤v_i≤100

1≤W≤10⁹

样例

输入

n = 4

(w, v) = {(2,3),(1,2),(3,4),(2,2)}

W = 5

输出

7（选择0、1、3号物品）

分析

显而易见，与01背包问题之1相比，数值变大了，也就不能用O（nW）的算法了，相对于重量而言，价值的数值比较小，所以尝试一下改变dp的对象，用dp针对不同价值的最小重量。

代码如下

int dp[MAX_N+1][MAX_V+1];
int rec(int W)
{
    fill(dp[0], dp[0]+MAX_N*MAX_V + 1, INF);
    int i, j;
    dp[0][0] = 0;
    for(i = 0; i < n; i++)
    {
        for(j = 0; j < MAX_N*MAX_V; j++)
        {
            if(j < v[i])
                dp[i+1][j] = dp[i][j];
            else
                dp[i+1][j] = min(dp[i][j], dp[i][j-v[i]] + w[i]);
        }
    }
    int res = 0;
    for(i = 0; i <= MAX_N*MAX_V; i++)
        if(dp[n][i] <= W)
        res = i;
    printf("%d\n", res);
    return 0;
}