「UTR #3」量子破碎
颓废的时候不知道为什么点着点着就进这道题里了
发现这个 manipulate 很像 Q# 里面的 H 门，然后发现做不下去了
发现这个 manipulate 很像 \(\operatorname{FWT}\)，于是类似 \(\operatorname{FWT}\) 地对每一位做一遍，手玩一下可以发现：
\[a_S = \left(\frac 1{\sqrt 2}\right)^{n+1}\left((-1)^{|x\cap S|}+(-1)^{|y\cap S|}\right)
\]
其实就是 \(\operatorname{FWT}\) 的定义
注意到 \((-1)^{|x\cap S|}+(-1)^{|y\cap S|}\) 不为 \(0\) 当且仅当 \(|x\cap S|+|y\cap S|\equiv 0(\bmod 2)\)，同时也等价于 \(|(x\bigoplus y)\cap S|\equiv 0(\bmod 2)\)。
由于这个 \(x\bigoplus y\) 始终不变且 \(\neq 0\)，并且 \(x,y\) 是随机的，所以每次通过 \(O(n)\) 步操作可以期望去掉一半的值。
毛估估 \(400\) 次限制是可以跑过的。
