埃拉托色尼素数筛选法的证明及原理

一、什么是素数？

　　素数又称为质数。素数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数。素数在日常中最多的应用就是加密算法，例如RSA加密算法就是基于来实现的。RSA算法会随机生成两个1024位的质数相乘，要破解密码必须对乘积做质因数分解，而1024位的质因数分解是非常困难的。

二、如何快速的算出小于某个数的所有素数？

　　从素数的概念上似乎可以很快得出一个算素数的公式，即将一个数循环做除法，从1一直除到它本身，如果中途只有被1和自己整除了这个数便是素数了，这样的计算效率是非常差的，因为他会不停的遍历整个数据范围。我们来试着跑一下它的效率：

#求10万以内的素数
import datetime
start = datetime.datetime.now()
for i in range(2,100000):
    for j in range(2,i):
        if i%j == 0:
            break
    #else:
        #print(i)
stop = datetime.datetime.now()
print(stop-start)

　　运行结果： 0:01:04.326679 ，在没有print的情况下竟然用了1分多钟，并且数字越大计算越慢。这样的效率肯定是不被允许的。下面介绍一种最常见的质数算法的原理：

三、埃拉托色尼素数筛选法

　　埃拉托色尼是一名古希腊的地理学家，他是世界上第一个计算出地球周长的人。埃拉托色尼素数筛选法可以很快速的计算出1到N之间的所有素数。将n开根号，即N^0.5，去掉2到N^0.5中所有素数的倍数，剩下的数便都是素数了。例如求1到25中的素数有哪些，第一步是将25开根号，得到5；第二步将2到5的素数取出来，分别是2、3、5；再将2到25中且是2、3、5的倍数的数去掉，即去掉4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20、21、22、24、25，剩下2、3、5、7、11、13、17、19便是1到25中的所有素数了。

　　这里还用到了一个数学知识，即只要小于或等于根号N的数（1除外）不能整除N，则N一定是素数；反过来说就是只要小于或等于根号N的数（1除外）能整除N，则N一定是合数。下面给出证明过程：

假设一个数N是合适，那一定存在一个因数b和一个非1且非自身的因数a，即a*b=N

等式两边同时开根号得出：(a*b)^0.5=a^0.5*b^0.5=N^0.5

可以推出：若N为合数，则a和b中一定有一个大于或等于N^0.5，另一个小于或等于N^0.5

　　按照这个结论，就只需计算小于等于N^0.5的数了，这样就大大提高了效率（要注意等于N^0.5的这个边界）：

 

#求10万以内的素数
import datetime
start = datetime.datetime.now()
for i in range(2,100000):
    for j in range(2,int(i**0.5+1)): #边界需要加1
        if i%j == 0:
            break
    #else:
        #print(i)
stop = datetime.datetime.now()
print(stop-start)

 

　　运行结果： 0:00:00.428024 。可以说是质的飞跃。

再优化

　　我们也可以将偶数事先就排除在外，然后在进行素数筛选：

#求10万以内的素数
import datetime
start = datetime.datetime.now()
print(2)
for i in range(3,100000,2): #从3开始，跳过偶数
    for j in range(2,int(i**0.5+1)):
        if i%j == 0:
            break
    #else:
        #print(i)
stop = datetime.datetime.now()
print(stop-start)

　　运行结果： 0:00:00.406024 ，又快了不少。

 再次优化：

　　可以思考：在第一个for循环中已经将跳过了所有的偶数，在 if i%j == 0: 语句中i只有奇数，而在数学中任何奇数除以偶数是一定除不尽的，也就数说当j为偶数时，语句 i%j == 0: 一定是为假的。所以可以将j中的偶数也去掉：

#求10万以内的素数
import datetime
start = datetime.datetime.now()
print(2)
for i in range(3,100000,2): #从3开始，跳过偶数
    for j in range(3,int(i**0.5+1),2): #再将j的偶数去掉
        if i%j == 0:
            break
    #else:
        #print(i)
stop = datetime.datetime.now()
print(stop-start)

　　运行结果： 0:00:00.271016 ，比之前的有快了20毫秒。

再三优化：

　　用列表的方式进行算法再优化。思路是将每次i循环后如果得到的i是素数则将它累加到一个列表中，并使j在for循环中以这个列表为可迭代对象进行迭代循环，因为列表中所有的元素都是素数，所以j如果迭代到小于等于i^0.5次方时没有能整除的数，说明大于i^0.5次方时也没有能整除的，即此时的i就是素数。这里也用到了一个数学原理：一个数如果能被小于它的素数整除则它一定是一个合数，反之它一定是一个素数。

import datetime
start = datetime.datetime.now()
n = 100000
lst = []
flag = True
#print(2)
for i in range(3,n,2):
    up = i**0.5
    for j in lst:
        if j > up:
            flag = True
            break
        if i % j ==0:
            flag = False
            break
    if flag:
        #print(i)
        lst.append(i)
stop = datetime.datetime.now()
print(stop-start)

运行结果： 0:00:00.177010 ，又快了！

其它优化方案：

　　优化方向：

　　1.孪生素数对猜想：大于等于5的素数一定与6的倍数相邻。

　　2.在奇数中在排除5的倍数。