偶然发现的一类群

来由

字母 b、d、p、q 在外形上大体可以看作是字母 o 分别在左上、右上、左下、右下位置加一条竖线所成。据此可以用外形叠加来定义一个加法运算，如：o + b = b, o + d = d. 显然字母 o 是这个加法运算的零元，b 和 d 外形叠加会得到形似 lol 的图形，为方便，用字母 u 指代这个叠加图形。于是很自然可引入一个集合 G = {o, b, d, u}，来看看 G 在叠加运算的作用下是否构成一个群。

o 是 G 的单位元，封闭性和结合律显然也都满足；由叠加运算的特性易知，对任意 x ∈ G，都有 x + x = x，这一点倒是和构成群的要求无关；但是 G 中的元素除 o 外都没有逆元. 因此，G 在叠加运算下不构成群。

那么，是不是可以变通一下这个加法运算，使得 G 构成群呢？

重定义加法

 为确保每个元都有逆元，定义对任意 x ∈ G，都有 x + x = o. 并定义 b + d = d + b = u，b + u = u + b = d，d + u = u + d = b. 容易验证，在这个新加法下 G = {o, b, d, u} 为 4 阶交换群。

更一般地说，就是对一个由 4 个元素组成的集合 G = {o, x, y, z}，其中 o 为零元，而另外三个元素满足：其中任意两个元素之和等于剩余的那个元素，如 x + z = y. 那么，这个新加法有没有类似上面的图形叠加运算的直观而形象的表述形式？

重描即擦除

在一个田字格里写一个左右结构的汉字，比如：“对” 字。什么都没有写的图形用两个下划线字符表示（即 “__”）；左边写下了 “又” 的图形用 “又_” 表示；右边写下了 “寸” 的图形用 “_寸” 表示；左边写下了 “又” 且右边写下了 “寸” 的图形用 “对” 表示。令集合 G = {"__", "又_", "_寸", "对"}.

另外要求使用一种特殊的笔来写，它有重描即擦除的效果，即它在田字格左部空白处的写下 “又” 时，图形左部显示 “又” 字，而当它在左部再次写下 “又” 时，图形左部的 “又” 字则会被擦除；对田字格右部的 “寸” 字也是一样的效果。在这种重描即擦除的加法运算下，有：

"__" + "又_" = "又_"

"又_" + "_寸" = "对"

"对" + "_寸" = "又_"

"对" + "又_" = "_寸"

容易验证 G 为 4 阶交换群。

更一般的抽象形式

用更一般的抽象形式来表示就是：G = {00, 01, 10, 11}，而使 G 构成群的所谓 “重描即擦除” 的加法其实质就是二进制数位的异或运算 ⊕，即：

0 ⊕ 0 = 0, 1 ⊕ 1 = 0; 0 ⊕ 1 = 1, 1 ⊕ 0 = 1.

一般地，全体不大于 k 位的二进制数的集合 B_k 在异或运算下构成 2^k 阶交换群（k 是非负整数，B₀ 中只有单位元，即 0）。这样的一类群可称为二进制异或群。以 k = 3 为例来看一下：

B₃ = {0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111}

0 ⊕ 0 = 0, 0 ⊕ 1 = 1 ⊕ 0 = 1, 0 ⊕ 10 = 10 ⊕ 0 = 10, ... ⇒ 0 是 B₃ 的零元（即单位元）；

1 ⊕ 1 = 0, 10 ⊕ 10 = 0, ... ⇒ G 中任意元素的逆元是其自身；

1 ⊕ 10 = 11, 10 ⊕ 11 = 1, 11 ⊕ 1 = 10 ⇒ B₂ 是 B₃ 的子群.

实际上，对任意非负整数 m 和 n，若 m ≤ n，则 B_m 是 B_n 的正规子群，这一点由 B_k 的交换性而保证.

总结与回顾

回到图形的 “重描即擦除” 运算。若一个像素点非黑即白，那么把一个 m×n 像素的黑白图形的每一个像素对应成一个二进制数的数位，则全体 m×n 像素的黑白图形的集合 B_m×n×2 在 “重描即擦除” 的运算下就构成 2^m×n×2 阶交换群。

而最初的图形叠加运算，实质就对应二进制数的位或运算 |，即：

0 | 0 = 0, 0 | 1 = 1, 1 | 0 = 1, 1 | 1 = 1.

最后来看一下二进制数的位与运算 &，即满足：

0 & 0 = 0, 0 & 1 = 0, 1 & 0 = 0, 1 & 1 = 1.

那么 G = {00, 01, 10, 11} 在位与运算 & 下是否构成群？

由 11 & 00 = 00, 11 & 01 = 01, 11 & 10 = 10, 11 & 11 = 11, 可知 11 是 G 的零元。

而由 00 + 01 = 00, 00 + 10 = 00, 00 + 11 = 00, 可知 00 没有逆元，因此 G = {00, 01, 10, 11} 在位与运算 & 下不构成群。