证明:若 k ≥ 2 且 v ≥ (k-1)(2k-1),则 C(v-1, k-1) ≤ 2·C(v-k, k-1).

证明:若 k ≥ 2 且 v ≥ (k-1)(2k-1),则 C(v-1, k-1) ≤ 2·C(v-k, k-1).

说明:这里约定 C(n, m) 指代从 n 个不同对象中取出 m 个对象的组合数,A(n, m) 则指代从 n 个不同对象中取出 m 个对象的排列数.

:原不等式等价于 A(v-1, k-1) ≤ 2·A(v-k, k-1),即

A(v-1, k-1) / A(v-k, k-1) ≤ 2          ①

① 的左端可展开为 k-1 个形如 d / (d - k + 1) 的大于 1 的分数相乘,易知其中最大的分数为 (v - k + 1) / (v - 2k + 2) ,于是有

A(v-1, k-1) / A(v-k, k-1) ≤ [(v - k + 1) / (v - 2k + 2)]k-1    ②

由 v ≥ (k-1)(2k-1),又有

[(v - k + 1) / (v - 2k + 2)] ≤ [(k-1)(2k-1) - (k-1)] /  [(k-1)(2k-1) - 2(k-1)] = (2k-2) / (2k-3)    ③

综合 ①、②、③,可知只要证明 

[(2k-2) / (2k-3)]k-1 ≤ 2    ④

在 k ≥ 2 时成立,则原不等式就成立.

④ 等价于 

[(2k-2) / (2k-3)]2k-2 ≤ 4   ⑤

令 t = 2k-2,即为 [t / (t-1)]t ≤ 4,由数列 {(1+1/n)n+1} 的单调递减性,可知

若 t ≥ 2,则 [t / (t-1)]t ≤ [2 / (2-1)]2 = 4 成立. 

这说明 2k-2 ≥ 2,即 k ≥ 2 时,④ 成立,于是原不等式在 k ≥ 2 且 v ≥ (k-1)(2k-1) 时成立.

数列 {(1+1/n)n+1} 满足单调递减性的证明:

记 an = (1+1/n)n+1,则

1 / an = [n/(n+1)]n+1 = [n/(n+1)]·[n/(n+1)]···[n/(n+1)]·1

记 n/(n+1) = δ,则 (n+1)·δ + 1 = n+1,由均值不等式有

1 / an = δ·δ···δ·1 ≤ [(n+1) / (n+2)]n+2 = 1 / [(n+2) / (n+1)]n+2 = 1 / an+1

这说明 an ≥ an+1,即数列 {(1+1/n)n+1} 满足单调递减性.

 

posted on 2022-01-08 12:11  readalps  阅读(200)  评论(0)    收藏  举报

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