证明:若 k ≥ 2 且 v ≥ (k-1)(2k-1),则 C(v-1, k-1) ≤ 2·C(v-k, k-1).
证明:若 k ≥ 2 且 v ≥ (k-1)(2k-1),则 C(v-1, k-1) ≤ 2·C(v-k, k-1).
说明:这里约定 C(n, m) 指代从 n 个不同对象中取出 m 个对象的组合数,A(n, m) 则指代从 n 个不同对象中取出 m 个对象的排列数.
证:原不等式等价于 A(v-1, k-1) ≤ 2·A(v-k, k-1),即
A(v-1, k-1) / A(v-k, k-1) ≤ 2 ①
① 的左端可展开为 k-1 个形如 d / (d - k + 1) 的大于 1 的分数相乘,易知其中最大的分数为 (v - k + 1) / (v - 2k + 2) ,于是有
A(v-1, k-1) / A(v-k, k-1) ≤ [(v - k + 1) / (v - 2k + 2)]k-1 ②
由 v ≥ (k-1)(2k-1),又有
[(v - k + 1) / (v - 2k + 2)] ≤ [(k-1)(2k-1) - (k-1)] / [(k-1)(2k-1) - 2(k-1)] = (2k-2) / (2k-3) ③
综合 ①、②、③,可知只要证明
[(2k-2) / (2k-3)]k-1 ≤ 2 ④
在 k ≥ 2 时成立,则原不等式就成立.
④ 等价于
[(2k-2) / (2k-3)]2k-2 ≤ 4 ⑤
令 t = 2k-2,即为 [t / (t-1)]t ≤ 4,由数列 {(1+1/n)n+1} 的单调递减性,可知
若 t ≥ 2,则 [t / (t-1)]t ≤ [2 / (2-1)]2 = 4 成立.
这说明 2k-2 ≥ 2,即 k ≥ 2 时,④ 成立,于是原不等式在 k ≥ 2 且 v ≥ (k-1)(2k-1) 时成立.
数列 {(1+1/n)n+1} 满足单调递减性的证明:
记 an = (1+1/n)n+1,则
1 / an = [n/(n+1)]n+1 = [n/(n+1)]·[n/(n+1)]···[n/(n+1)]·1
记 n/(n+1) = δ,则 (n+1)·δ + 1 = n+1,由均值不等式有
1 / an = δ·δ···δ·1 ≤ [(n+1) / (n+2)]n+2 = 1 / [(n+2) / (n+1)]n+2 = 1 / an+1
这说明 an ≥ an+1,即数列 {(1+1/n)n+1} 满足单调递减性.