偏序序列变换规律分析
本篇是 一个男孩女孩排队换位的命题的证明与相关拓展分析 的续篇，进一步对偏序序列及其变换的特性做一些探究，本篇里所谓的变换如不做明示均指代上篇里定义的 Γ 变换。
为叙述方便，引入以下定义：
III 型和 IV 型值对统称为左一值对，II 型和 IV 型值对统称为右一值对。
一个只包含偏序值对而不包含规范组的序列称为纯值对序列，也叫偏序子序列。
一个偏序子序列中的每个值对都是左一值对时，则称该子序列为左一序列；一个偏序子序列中的每个值对都是右一值对时，则称该子序列为右一序列。
IV 型值对 [1,1) 也称为双一值对；一个偏序子序列中的每个值对都是双一值对时，则称该子序列为双一序列；一个双一值对简记为 E，由 k 个双一值对组成的双一序列简记为 Ek。
为值对 σ = [p,q) 引入左界函数和右界函数：left(σ) = p，right(σ) = q。
为偏序子序列 U = [p1,q1)...[pt,qt) 引入左界函数和右界函数：left(U) = p1，right(σ) = qt。
左界函数和右界函数分别简称为左界和右界。
为偏序序列 U 定义 跳变数函数：gap(U) = F(U) - ω(U)。
M = [p1,q1)...[pm,qm) 和 N = [r1,s1)...[rn,sn) 是两个偏序子序列，则把 [p1,q1)...[pm,qm)[r1,s1)...[rn,sn) 称作 M 和 N 的拼接序列，记作 MN。并称 M 为 N 的左邻序列，N 为 M 的右邻序列。
特性 1（左析出特性）：当且仅当偏序子序列 U 的第一个值对为左一值对时，U 经一次变换后，序列左端会析出一个 0单元，当前面还有偏序子序列时，该 0单元并入前面的偏序子序列，否则，并入左端规范组。
这个特性是不证自明的，可由 Γ 变换的定义直接推出。同样地，有：
特性 2（右析出特性）：当且仅当偏序序列 U 的最末一个值对为右一值对时，U 经一次变换后，序列右端会析出一个 1单元，当后面还有偏序子序列时，该 1单元并入后面的偏序子序列，否则，并入右端规范组。
特性 3（左界减一特性）：偏序子序列 U 的第一个值对为 [p,q)，且 p > 1，U 经一次变换后，得到的新序列 V 的第一个值对为 [p-1,1) ，即有 left(V) = left(U) - 1。唯一例外的情形是：U 存在左邻序列 X，且一次变换后 X 发生右析出，则 V 的第一个值对为 [p,1)，此时有 left(V) = left(U)。
这个特性同样可由 Γ 变换的定义直接推出。同样地，有：
特性 4（右界减一特性）：偏序序列 U 的最末一个值对为 [p,q)，且 q > 1，U 经一次变换后，得到的新序列 V 的最末一个值对为 [1,q-1)，即有 right(V) = right(U) - 1。唯一例外的情形是：U 存在右邻序列 Y，且一次变换后 Y 发生左析出，则 V 的最末一个值对为 [1,q)，此时有 right(V) = right(U)。
左析出特性对应于左界为 1 的情形，比如 U = [1,1)[3,4) 的左界为 1，即作为偏序值对最左端只有一个 1单元，经过一次变换后，会有一个 0单元被换到这个 1单元的左边，可以理解成这个 0单元往右推走了一个 1单元而使得 U 的左界减一，即减为 0，但左界为 0 不能构成值对，即这个 0单元只能左析出到左端的规范组，而被换到右边的 1单元继续参与构成新序列的左界。以下是 [1,1)[3,4) 的变换过程：
U = [1,1)[3,4) = 10 1110000 >> 01 1101000 = (1)[3,1)[1,3)
这个例子里，序列变换前后的左界分别为 1 和 3。
同样，右析出特性对应于右界为 1 的情形。
特性 5（左一序列的左传递特性）：当 U 为左一序列时，一次变换后的效果等同于右界里的一个 0单元往左经过逐个值对传递并发生左析出。
这个特性可以用如下的一般形式表示：
U = [1,q1)[1,q2)...[1,qt) >> (1)[1,q1)[1,q2)...[1,qt - 1)，qi ≥ 1, i=1,2,...,t ①
这个特性同样可由 Γ 变换的定义直接推出。左端析出的 0单元实际是从第一个值对的右元里换出来的，即
[1,q1) >> (1)[1,q1 - 1)
但第 2 个值对变换后会有一个游离出来的 0单元，结合到第一个值对的变换结果里，即
[1,q1)[1,q2) >> (1)[1,q1)[1,q2 - 1)
依次类推，便有可得到 ①。注意，当 qt = 1 时，有 [1,qt - 1) = [1,0) = [1]，即有
U = [1,q1)[1,q2)...[1,qt-1)[1,1) >> (1)[1,q1)[1,q2)...[1,qt-1)[1]，qi ≥ 1, i=1,2,...,t-1
易知，当 U 为左一序列时，F(Γ(U)) = F(U) - 1。由 ① 可知 Γ(U) 要么仍然是左一序列，要么是规范序列（当 t = 1 且 qt = 1）。因此进一步可递推出：当 U 为左一序列时，gap(U) = 0。
同样地，有：
特性 6（右一序列的右传递特性）：当 U 为右一序列时，一次变换后的效果等同于左界里的一个 1单元往右经过逐个值对传递并发生右析出。
这个特性可以用如下的一般形式表示：
U = [p1,1)[p2,1)...[ps,1) >> [p1-1,1)[p2,1)...[ps,1)[1]，pi ≥ 1, i=1,2,...,s ②
当 p1 = 1 时，有 [p1-1,1) = [0,1) = (1)，即有
U = [1,1)[p2,1)...[ps,1) >> (1)[p2,1)...[ps,1)[1]，pi ≥ 1, i=2,...,s
易知，当 U 为右一序列时，F(Γ(U)) = F(U) - 1。由 ② 可知 Γ(U) 要么仍然是右一序列，要么是规范序列（当 s = 1 且 p1 = 1）。因此进一步可递推出：当 U 为右一序列时，gap(U) = 0。
记右一序列 R = [p1,1)[p2,1)...[ps,1)，左一序列 L = [1,q1)[1,q2)...[1,qt)，来考察序列 R 和 L 的拼接序列的变换特性。先考虑 RL，即 左边是一个右一序列而右边是一个左一序列的拼接序列（简称为 RL 型序列）。
由 ① 和 ② 知，L 一次变换后左端会析出一个 0单元，R 一次变换后右端会析出一个 1单元。而拼接的 RL 一次变换后这两个析出的单元会新形成一个双一值对，即：
RL = [p1,1)[p2,1)...[ps,1) [1,q1)[1,q2)...[1,qt)
>> [p1-1,1)[p2,1)...[ps,1) [1,1) [1,q1)[1,q2)...[1,qt - 1)
= CEL' = R'L'
这里，C = [p1-1,1)[p2,1)...[ps,1)，L' = [1,q1)[1,q2)...[1,qt - 1)，R' = CE = [p1-1,1)[p2,1)...[ps,1) [1,1)
易知，R' 依然是右一序列，L' 要么依然是左一序列，要么就是 [1]（即右析出的一个 1单元）。这个过程可以递推下去（这里选择把 E 和左边的子序列拼接，把 E 和右边的子序列拼接也是一样的），并可推得：
特性 7（RL 型序列变换特性）：右一序列 R 与左一序列 L 的拼接序列 RL 满足：F(Γ(RL)) = F(RL) - 1 和 gap(RL) = 0。
看一个实际例子：R = [3,1)[4,1)[5,1)，L = [1,3)[1,4)[1,5)，于是有
RL = [3,1)[4,1)[5,1) [1,3)[1,4)[1,5)
>> [2,1)[4,1)[5,1) [1,1) [1,3)[1,4)[1,4) // 左界减一；右界减一；新合成一个 E
>> [1,1)[4,1)[5,1) E [1,1) [1,3)[1,4)[1,3) // 左界减一；右界减一；新合成一个 E
>> (1) [4,1)[5,1) E2 [1,1) [1,3)[1,4)[1,2) // 左析出（开头的 E 瓦解），新定左界；右界减一；新合成一个 E
>> (1) [3,1)[5,1) E3 [1,1) [1,3)[1,4)[1,1) // 左界减一；右界减一；新合成一个 E
>> (1) [2,1)[5,1) E4 [1,1) [1,3)[1,4) [1] // 左界减一；右析出（末尾的 E 瓦解），新定右界；新合成一个 E
>> (1) [1,1)[5,1) E5 [1,1) [1,3)[1,3) [1] // 左界减一；右界减一；新合成一个 E
>> (2) [5,1) E6 [1,1) [1,3)[1,2) [1] // 左析出（开头的 E 瓦解），新定左界；右界减一；新合成一个 E
>> (2) [4,1) E7 [1,1) [1,3)[1,1) [1] // 左界减一；右界减一；新合成一个 E
>> (2) [3,1) E8 [1,1) [1,3) [2] // 左界减一；右析出（末尾的 E 瓦解），新定右界；新合成一个 E
>> (2) [2,1) E9 [1,1) [1,2) [2] // 左界减一；右界减一；新合成一个 E
>> (2) [1,1) E10 [1,1) [1,1) [2] // 左界减一；右界减一；新合成一个 E
变换到这一步，得到的序列是 (2) E13 [2]，E13 既可以看成是左一序列，也可以看成是右一序列，随后的每次变换也都是偏序值减 1。从这个示例可以看到，RL 型序列的连续变换的特征是左边的右一序列的右传递特性与右边的左一序列的左传递特性的叠加，不断在接合位置新合成一个双一值对，一直到拼接序列成为一个双一序列，再往后的每次变换效果是左右各析出一个单元同时减少一个双一值对。
接着考察左一序列 L 与右一序列 R 的拼接序列 LR（L 在左，R 在右，即 LR 型序列）的变换特性：
LR = [1,qt)...[1,q2)[1,q1) [p1,1)[p2,1)...[ps,1)
>> (1) [1,qt)...[1,q2)[1,q1-1) [p1-1,1)[p2,1)...[ps,1) [1]
LR 的一次变换会在两端各析出一个单元（左端是 0单元，右端是 1单元），而在中间的接合位置需要分情形讨论。即：
I. 当 p1 > 1 且 q1 > 1 时，LR >> (1) L'R' [1]，其中 L' = [1,qt)...[1,q2)[1,q1-1)，R' = [p1-1,1)[p2,1)...[ps,1)，此时 L' 依然是左一序列，R' 依然是右一序列，且有 F(Γ(LR)) = F(LR) - 2；
II. 当 p1 = 1 时，LR >> (1) LR' [1]，其中 ER' = R，即 L(ER') >> (1) LR' [1]，此时 R' 要么依然是右一序列，要么就退化成空序列（即当 s = 1 时， R = E，即有 LR = LE >> (1) L [1] ），有 F(Γ(LR)) = F(LR) - 1；
III. 当 q1 = 1 时，LR >> (1) L'R [1]，其中 L'E = L，即 (L'E)R >> (1) L'R [1]，此时 L' 要么依然是左一序列，要么就退化成空序列（即当 t = 1 时， L = E，即有 LR = ER >> (1) R [1] ），有 F(Γ(LR)) = F(LR) - 1。
再看一组例子：
[1,2)[1,5) [4,1)[6,1)[1,1)
>> (1) [1,2)[1,4) [3,1)[6,1)[1,1) [1] // 对应情形 I，左右均析出且值对数不变，因而偏序值减 2
[1,2)[1,5) [1,1)[6,1)[1,1)
>> (1) [1,2)[1,5) [6,1)[1,1) [1] // 对应情形 II，左右均析出但值对数减 1，因而偏序值减 1
[1,2)[1,1) [1,1)[6,1)[1,1)
>> (1) [1,2)[1,1) [6,1)[1,1) [1] // 对应情形 II 和 III，左右均析出但值对数减 1，因而偏序值减 1
从这一组例子可以清晰看到，情形 I 变换后值对数不变；情形 II 和 III 变换后则都会在 L 与 R 的接合位置减少一个双一值对 E。
接着考察 LR 型序列连续变换特性。看一个实际例子：R = [3,1)[4,1)[3,1)，L = [1,2)[1,5)，于是有
LR = [1,2)[1,5) [3,1)[4,1)[3,1)
>> (1) [1,2)[1,4) [2,1)[4,1)[3,1) [1] // 偏序值减 2
>> (2) [1,2)[1,3) [1,1)[4,1)[3,1) [2] // 偏序值减 2
>> (3) [1,2)[1,3) [4,1)[3,1) [3]
>> (4) [1,2)[1,2) [3,1)[3,1) [4] // 偏序值减 2
>> (5) [1,2)[1,1) [2,1)[3,1) [5] // 偏序值减 2
>> (6) [1,2) [2,1)[3,1) [6]
>> (7) [1,1) [1,1)[3,1) [7] // 偏序值减 2
变换到这一步，得到的序列是 (7) E2 [3,1) [7]，已经是一个右一序列了，随后的每次变换偏序值只会减 1。这个例子中，共有 5 次变换是偏序值减 2，其余都是偏序值减 1，即有 gap(LR) = 5。
由上面的分析以及示例可以总结出如下的特性：
特性 8（LR 型序列变换特性）：为左一序列 L = [1,qt)...[1,q2)[1,q1) 定义博弈值函数 game(L) = ∑(qi-1)i:1,...,t；为右一序列 R = [p1,1)[p2,1)...[ps,1) 定义博弈值函数 game(R) = ∑(pi-1)i:1,...,s，则拼接序列 LR 满足：gap(LR) = min{game(L), game(R)}。
证明：LR = [1,qt)...[1,q2)[1,q1) [p1,1)[p2,1)...[ps,1)
>> (1) [1,qt)...[1,q2)[1,q1-1) [p1-1,1)[p2,1)...[ps,1) [1]
由上面的分情形分析知，只有 q1 和 p1 都大于 1 时，LR 变换后才能保持值对数不变，否则会在 L 与 R 接合位置减少一个 E 值对。 因此，LR 连续变换的问题可以形象地等价于如下的两军交战问题：
A 和 B 两军交战，双方按顺序各派出一员大将做一对一的交战。A 方有 s 员大将，按出场顺序排列为 X1、X2、...、Xs，初始战斗力分别为 p1、p2、...、ps；B 方有 t 员大将，按出场顺序排列为 Y1、Y2、...、Yt，初始战斗力分别为 q1、q2、...、qt，具体交战规则为：
I. 当双方出战的大将的血力都大于 1 时，战完一个回合，双方出战的大将的血力各自减 1，并继续交战下一回合；
II. 血力降为 0 的大将视作阵亡，一方要等本方派出交战的大将阵亡后才按序派出下一员大将；
III. 当一方出战的大将血力为 1，而对方出战的大将的血力大于 1 时，一回合后，血力为 1 的大将的血力减为 0 （即阵亡），而另一方保持原有血力不变；
IV. 当双方出战的大将血力都为 1 时，一回合后，规定 A 方出战的大将保持血力不变，而让 B 方出战的大将阵亡；
V. 有一方的所有大将都阵亡了，战争结束。
请问这场战争的总回合数中，有多少回合没有大将阵亡？
可以直观地看出，等价问题的解就是特性 8 里的 min{game(L), game(R)}。而由等价问题的等价关系可知，没有大将阵亡的回合数就等于值对数不变的变换次数，从而易知 gap(LR) = min{game(L), game(R)}，即特性 8 的结论成立。
特性 5-8 都不涉及 I 型值对，现在来考察有 I 型值对参与的变换会有什么新特性。以 W 简记一个 I 型值对。由
W = [p,q) >> [p-1,1)[1,q-1)，p,q > 1
知，一个 I 型值对变换后会得到一个右一值对和一个左一值对，即前述的 RL 型序列。结合特性 7 可知，gap(W) = 0。
记左一序列 L = [1,qt)...[1,q2)[1,q1)，右一序列 R = [p1,1)[p2,1)...[ps,1)。则有
WL = [p,q) [1,qt)...[1,q2)[1,q1) >> [p-1,1)[1,q) [1,qt)...[1,q2)[1,q1-1)
易知，无论 q1 = 1 还是 q1 > 1，都有 F(Γ(WL)) = F(WL) - 1，且 Γ(WL) 是 RL 型序列，于是有 gap(WL) = 0。
同样地，还可以推得 gap(RW) = 0 和 gap(RWL) = 0。
LW = [1,qt)...[1,q2)[1,q1) [p,q) >> (1) [1,qt)...[1,q2)[1,q1-1) [p-1,1)[1,q-1)
当 q1 = 1 时，有 F(Γ(LW)) = F(LW) - 1，Γ(LW) 是 LRL 型序列；
当 q1 > 1 时，有 F(Γ(LW)) = F(LW) - 2，Γ(LW) 是 LRL 型序列。
看一个 LRL 型序列连续变换的例子：L1 = [1,3)[1,4)，R = [3,1)[2,1)，L2 = [1,3)[1,5)，于是有
L1RL2 = [1,3)[1,4) [3,1)[2,1) [1,3)[1,5)
>> (1) [1,3)[1,3) [2,1)[2,1) [1,1) [1,3)[1,4) // 偏序值减 2
>> (2) [1,3)[1,2) [1,1)[2,1) E [1,1) [1,3)[1,3) // 偏序值减 2
>> (3) [1,3)[1,2) [2,1) E2 [1,1) [1,3)[1,2) // 偏序值减 1
>> (4) [1,3)[1,1) [1,1) E3 [1,1) [1,3)[1,2) // 偏序值减 2
变换到这一步，得到的序列已经是左一序列，即随后的每次变换偏序值只会减一。结合前面的分析，可以推出：
gap(L1RL2) = gap(L1R) = min{game(L1), game(R)}
进一步可以推出：
gap(LW) = min{game(L), left(W) - 1}
特性 9（I 型值对不可生成特性）：I 型值对不会出现在变换结果序列中。即，对任意的变换 U >> V，序列 V 中一定不会出现 I 型值对。
证明：对一般形式的序列 U = [p1,q1)[p2,q2)...[pk,qk)，来证明 Γ(U) 中不含有 I 型值对。
当 k = 1 时，由前述分析，结论显然成立。假设 k = t （t ≥ 1）时，结论成立。
考虑 U = [p1,q1)[p2,q2)...[pt,qt)[pt+1,qt+1) = [p1,q1)U' 的变换情况，记 Γ(U') = (c) [r1,s1)[r2,s2)...[rm,sm) [d]。
由假设可知 Γ(U') 中不含有 I 型值对。另外由特性 1 可知 c ≤ 1。
I. 如果 [p1,q1) 为 I 型值对，则 Γ([p1,q1)) = [p1-1,1)[1,q1-1)，Γ(U) = [p1-1,1)[1,q1-1+c)[r1,s1)[r2,s2)...[rm,sm) [d]，不含有 I 型值对。
II. 如果 [p1,q1) 为 II 型值对，则 Γ([p1,q1)) = [p1-1,1)[1]，此时若 c = 1，则 Γ(U) = [p1-1,1)[1,1)[r1,s1)[r2,s2)...[rm,sm) [d]，不含有 I 型值对；此时若 c = 0，由特性 3 可知 s1 = 1，于是 Γ(U) = [p1-1,1)[r1+1,s1)[r2,s2)...[rm,sm) [d]，同样不含有 I 型值对。
III. 如果 [p1,q1) 为 III 型值对，则 Γ([p1,q1)) = (1) [1,q1-1)，Γ(U) = (1)[1,q1-1+c)[r1,s1)[r2,s2)...[rm,sm) [d]，不含有 I 型值对。
IV. 如果 [p1,q1) 为 IV 型值对，则 Γ([p1,q1)) = (1) [1]，此时若 c = 1，则 Γ(U) = (1)[1,1)[r1,s1)[r2,s2)...[rm,sm) [d]，不含有 I 型值对；此时若 c = 0，由特性 3 可知 s1 = 1，于是 Γ(U) = (1)[r1+1,s1)[r2,s2)...[rm,sm) [d]，同样不含有 I 型值对。
综上，k = t + 1 时，结论成立。证毕。
不含有 I 型值对的偏序序列称作可生成偏序序列。
特性 10（左右界变动不影响跳变数）：任意改变纯值对序列 U 的左界或右界值，得到的序列 V 必然满足 gap(U) = gap(V)。
特性 11（去掉双一值对不影响跳变数）：从一个纯值对序列 U 中剔除全部双一值对后，得到的序列 V 必然满足 gap(U) = gap(V)。
易知，特性 11 是前一篇里的引理 1 的等价表述。
特性 10 和特性 11 的证明放到下一篇。
