沿途有加油站和便利店规则分布的一道路程题的求解

原题：A、B 两地相距不到 1000 公里，A 地到 B 地的公路上：每隔 5 公里有一个加油站，从 A 地所在的 1 号加油站开始，编号依次加 1；每隔 7 公里有一个便利店，从A 地所在的 1 号便利店开始，编号依次加 1。甲乙两车同时从 A 地出发前往 B 地，与此同时，丙车从 B 地出发前往 A 地。当甲丙两车在一个编号为两位数的质数的加油站相遇时，乙刚好走到一个编号为 a² 的加油站。相遇后，甲车速度减少了 3/8，当乙丙在编号为 a² 的便利店相遇时，甲刚好到了一个编号为三位数完全平方数的加油站。请问：A、B两地相距多少公里？

解：设A、B两地相距 s 公里（s < 1000），甲车、乙车、丙车的速度分别为 8v₁、v₂、v₃，从最开始出发到甲丙相遇的用时为 t₁，从甲丙相遇到乙丙相遇的用时为 t₂，p 为那个两位数的质数编号，b 为三位数完全平方数编号。第一次相遇有以下一些等式：

(8v₁ + v₃)·t₁ = s       ①

8v₁·t₁ = 5(p - 1)        ②

v₂·t₁ = 5(a² - 1)        ③

随后，甲车的速度降为 5v₁，第二次相遇又有以下等式：

(v₂ + v₃)·t₂ = 5(p-1) - 5(a²-1) = 5(p - a²)       ④

v₂·t₂ = 7(a²-1) - 5(a²-1) = 2(a² - 1)               ⑤

5v₁·t₂ = 5(b-1) - 5(p-1) = 5(b - p)                  ⑥

由 ①②③ 有：

t₁ = 5(p - 1) : 8v₁ = 5(a² - 1) : v₂ = s - 5(p-1) : v₃    Ⅰ

由 ④⑤⑥ 有：

t₂ = b - p : v₁ = 2(a² - 1) : v₂ = 5p + 2 -7a² : v₃       Ⅱ

由 Ⅰ 和 Ⅱ 得到如下的 v₁ 与 v₂ 的关系：

8v₁·(a² - 1) = (p - 1)·v₂             ⑦

v₁·2(a² - 1) = (b - p)·v₂             ⑧

由 ⑦⑧ 可得：p -1 = 4(b - p)，即 5p = 4b + 1

p 为两位数的质数，故 11 ≤ p ≤ 97；而 b 为三位数的完全平方数，故 b = 100, 121, 144, ...

当 b = 100 时，4b + 1 为 401，不是 5 的倍数；

当 b = 121 时，4b + 1 为 485，是 5 的倍数，且 485 / 5 = 97。于是得出 p = 97，b = 121。

乙丙相遇时，甲行驶的路程为 5(b-1) = 600，即有 s ≥ 600

由 5p + 2 -7a² > 0，知 |a| ≤ 8

再由 Ⅰ 和 Ⅱ 得到如下的 v₂ 与 v₃ 的关系：

v₂·(s - 5p + 5) =  5(a² - 1)·v₃             ⑨

v₂·(5p + 2 -7a²) =  2(a² - 1)·v₃          ⑩

由 ⑨⑩ 可得：2s - 10p + 10 = 25p + 10 -35a² ，即

 2s = 35·(p - a²) = 35·(97 -a²) 

当 |a| = 8 时，s = 35·33/2 = 577.5 < 600

当 |a| = 7 时，s = 35·48/2 = 840 < 1000

当 |a| = 6 时，s = 35·61/2 = 1067.5 > 1000

当 |a| < 6 时，s > 1000

故原题所求的A、B两地的距离为 840 公里。