正整数a、b、c、d满足ab=cd，则a+b+c+d必定为合数。

正整数a、b、c、d满足ab=cd，则a+b+c+d必定为合数。

证法一：记s=a+b+c+d。如果四个数全为1，s=4，显然是合数。考虑四个数非全1的情形，由对称性，不妨令a>1。

设p是a的一个素因数，由题设有p|c或p|d，不妨令p|c。

由p|a和p|c，知p|(a,c)。设(a,c)=pt，t为正整数。

于是有a=ptm，c=ptn，m和n为正整数且满足(m,n)=1。

由ab=cd，有ptmb=ptnd，即mb=nd。

由(m,n)=1，知m|d以及n|b。

记d=mu，b=nv，u和v为正整数。

于是mb=nd即为mnv=nmu，即有v=u。

s=ptm+nu+ptn+mu=(pt+u)(m+n)，pt+u和m+n均大于1，可知s为合数。

 

证法二：（walls老师提供）

记(a,c)=t，t为正整数。则存在正整数m和n满足

a=mt，c=nt，(m,n)=1

ab=cd即为mtb=ntd，即有mb=nd

由(m,n)=1，知m|d和n|b。

记d=mu，b=nv，u和v为正整数。

mb=nd即为mnv=nmu，即有v=u

a+b+c+d=mt+nu+nt+mu=(t+u)(m+n)，t+u和m+n均大于1，可知a+b+c+d为合数。