一道小学奥数题的简易解法

用铁丝做成一个长方体，一共用了40分米，长方体的长宽高都是整数分米，具体数值不详。求该长方体表面积的最大值。

解：设该长方体的长宽高分别为a、b、c。由 4a+4b+4c = 40，有a+b+c = 10

于是有

    2ab+2bc+2ac = (ab+bc) + (ab+ac) + (bc+ac) = b(a+c) + a(b+c) = c(a+b) = b(10-b) + a(10-a) + c(10-c)

       = 100-(a²+b²+c²)

和为10的三个正整数可能的组合有：(1,1,8)、(1,2,7)、(1,3,6)、(2,2,6)、(1,4,5)、(2,3,5)、(3,3,4)

记[a,b,c] = a²+b²+c²，那么

    [3,3,4] = 9+9+16 = 34 < 6²

由此可以排除上面组合中的前4个，再由[1,4,5] = 1+16+25 = 42 和 [2,3,5] = 4+9+25 = 38，知该长方体表面积的最大值为

100-[3,3,4] = 100-34 = 66。