证明：(a,[b,c]) = [(a,b),(a,c)]

这题是潘承洞、潘承彪所著《初等数论》（第三版）第一章第5节里一个例题，书中采用算术基本定理证明，并指出要直接用第4节的方法来证是较困难的。

现采用第4节的方法（即最大公约数理论里的几个常用定理）来证明该题。

证： [(a,b),(a,c)]

 = (a,b)(a,c)/((a,b),(b,c)) （依据定理7）

 = (a,b)(a,c)/(a,b,c)  （依据定理4）

于是待证等式等价于

(a,[b,c])(a,b,c) = (a,b)(a,c)

左端 = (a,[b,c])(a,(b,c))  （依据定理4）

         = (aa,a(b,c),a[b,c],bc)  （依据定理3、4、7）

         = (aa,ab,ac,bc)  （依据定理3）

右端 = (aa,ac,ab,bc)  （依据定理3）

等价的等式成立，故待证等式成立。