二分图匹配

定义

二分图

二分图（bipartite graph）指的是满足 图的所有结点可以分成两个集合，每个集合内的点没有连边，两个集合之间可以有连边 的图 。

判断一张图是否是二分图？

从一个集合出发，回到这个集合的路径的长度一定为奇数。 （必要条件）

二分图匹配

一个匹配称为从一个集合中的某点到另一个集合中的某点的连线。一个点最多能产生一的贡献（如果连了很多条边，从中选择一条）。

问最大的匹配数。

二分图匹配算法

匈牙利算法！

模板见例题

应用

最大匹配数

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2063

点击查看代码

//二分图匹配
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N = 1005;
int n,m,k;  //a方n人 b方m人 k对关系 
int u,v;  
int g[N][N]; //表示a,b之间有关系，赋值为0/1. 
//！若要去掉某一关系，令其=0即可  
int match[N];  //下标是配对的b方  值为对应的a方 
bool reserve_b[N];  //标记b方是否已经使用过 
int ans;

bool dfs(int x){
	for(int i=1;i<=m;i++){  //b方 
		if(!reserve_b[i]&&g[x][i]){
			reserve_b[i]=1;
			if(!match[i]||dfs(match[i])){  //b无配对 或者 b的原配可以找到新的配对 
				match[i]=x;  //则令x为b的配对 
				return 1;  //x找到了配对 
			}
		}
	}
	return 0;  //x没有找到配对 
}

int main(){
//	while(scanf("%d%d%d",&n,&m,&k)==3){
		scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
		memset(g,0,sizeof(g)); 
		memset(match,0,sizeof(match));
		for(int i=1;i<=k;i++){
			scanf("%d%d",&u,&v);
			g[u][v]=1;  // 表示a,b之间有关系，也可以表示两点间有一条边 
		}
		for(int i=1;i<=n;i++){  //a方 
			memset(reserve_b,0,sizeof(reserve_b));  //不加会错
			//表示不论bi之前是否有配对，都不会影响它与ai的配对 
			if(dfs(i)) ans++;  //ai配对成功后配对数++，虽然可能更换配对，但是保证ai一定有配对 
		}
		printf("%d\n",ans);
//	}
	return 0;
} 

二分图最小点覆盖

最小点覆盖问题是说，假设选择一个点，也同时覆盖了这个点连向的所有点（无向边），需要求出最少需要选择的点使得所有点都至少被覆盖了一次。

证明用到了 \(konig\) 定理！

结论：二分图最大匹配数 = 二分图最小点覆盖

直观来想，因为点覆盖覆盖了所有的点，所以它可能是比较大的。假设存在一个下限，又发现当取最大匹配数的时候恰好成立。那么可以更小吗？如果比最大匹配数还小，那肯定存在两个点可以连边但是都没有选择的情况，是不合法的，因此得证。

二分图最小路径覆盖

有向边

结论：二分图最小点覆盖 = 边的数量-二分图最大匹配数

hdoj 1151 air raid

二分图最大独立集

最大独立集：选最多的点，满足两两之间没有边相连。

在最小点覆盖中，每条边最少被选了一个顶点，因此最大独立集中 每条边最多被选了一个顶点，满足独立集条件。

数量 = 边的数量-二分图最大匹配数