数论

2025 北京市赛 I

给定三个正整数 a, b, k，求LCM(a + x, b + y)的最小值（LCM是指两个数的最小公倍数），其中 x 和 y 都是不大于k的非负整数

首先从比较简单的情况入手，如果 a <= b 且 a + k >= b，那么显然可以得到此时的答案是b，因为这样b至少不需要乘上某一个倍数

但当这种关系不成立的情况下，尝试得出最优解就有些困难了，因此考虑从规范化的形式去考虑

令 \(d = gcd(a, b)\) (这里的a,b代表加上x, y后的a'和b')，那么\(lcm(a, b) = \frac{a * b} {d}\)，这个形式上如果要追求左侧数值的最小化，那么就是想让a * b尽可能小，而d尽可能大，但这对我们的思考仍然没有什么用处，因此进一步变形，表示为\(lcm(a, b) = d \cdot \left\lceil \frac{a}{d} \right\rceil \cdot \left\lceil \frac{b}{d} \right\rceil\)

观察现在的这几个变量，假设我们固定了d，那么要让\(\left\lceil \frac{a}{d} \right\rceil\)尽可能小，实际上就是取原始的a/d上取整，因此，如果我们能确定d，那么就可以得到答案

于是现在考虑能不能枚举d，但是一方面，a和b的数值范围都很大，有1E14，另一方面，考虑到a + k 对数值的影响也较大，我们并不适合枚举质因数

这时注意到我们对于\(\left\lceil \frac{a}{d} \right\rceil\)的取值是已经确定是基于一开始的a选择了，并且该取值范围是 \(\sqrt{a}\) 级别的，因此相较于枚举d，可以考虑枚举\(\left\lceil \frac{a}{d} \right\rceil\)，并且当这个值确定后，为了使得最后的数值最小，我们一定是选择满足条件的最小的d

于是要遍历这\(O(\sqrt{a} + \sqrt{b})\)个可能的值，并计算答案，这可以使用整除分块来实现

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

using i64 = long long;
using i128 = __int128;

ostream& operator<<(ostream &os, i128 x) {
    if (x < 0) {
        os << '-';
        x = -x;
    }
    if (x == 0) {
        os << '0';
        return os;
    }
    string s;
    while (x > 0) {
        s += char(x % 10 + '0');
        x /= 10;
    }
    reverse(s.begin(), s.end());
    os << s;
    return os;
}

i64 ceil(i64 a, i64 b) {
    return (a + b - 1) / b;
}

void solve() {
    i64 a, b, k;
    cin >> a >> b >> k;
    i128 ans = 1e30;
    {
        for (i64 d = a, r = a; r >= 1; r = d - 1) {
            i64 tmp = ceil(a, r); // tmp = ceil(a, r)：如果商为 r，那么除数至少是 ⌈a/r⌉
            d = ceil(a, tmp); // 为了让 ⌈a/d⌉ = r，d 的最小值是 ⌈a/tmp⌉
            i64 u = d * ceil(a, d);
            i64 v = d * ceil(b, d);
            if (u <= a + k && v <= b + k) {
                ans = min(ans, (i128)u / d * v);
            }
            // r = d - 1，跳跃到下一个不同的商值
            // 对于 ⌈a/d⌉ = r，不同的商值对应的 d 范围是连续的，于是减1进入下一个商值范围
        }
    }
    swap(a, b);
    {
        for (i64 d = a, r = a; r >= 1; r = d - 1) {
            i64 tmp = ceil(a, r);
            d = ceil(a, tmp);
            i64 u = d * ceil(a, d);
            i64 v = d * ceil(b, d);
            if (u <= a + k && v <= b + k) {
                ans = min(ans, (i128)u / d * v);
            }
        }
    }
    cout << ans << '\n';
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    int t = 1;
    cin >> t;
    while (t--) {
        solve();
    }
    return 0;
}