一.数学

一.数学

第一章函数与极限

第一节映射与函数

一丶映射

二丶函数

函数的几种特性

有界性 单调性 奇偶性 周期性

三丶例题

第二节数列的极限

一丶数列极限的定义

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二丶收敛数列的性质

1.唯一性 极限唯一

2.有界性

如果数列收敛 那么一定有界 有界不一定收敛

3.保号性

4.如果数列收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限是a

如果数列x有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列x是发散的

第三节 函数的极限

一丶函数极限的定义

求函数的极限时 自变量趋于某一个具体数值时 求δ 越小越好

image-20220422160147954

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左极限 右极限

1.x)极限存在充分必要条件是左右极限各自存在且相等

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自变量趋于无穷大时的函数极限 求大X 越大越好

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二丶函数极限的性质

定理1(函数极限的唯一性) 如果

image-20220423180047204

定理4

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三丶例题

第四节 无穷小与无穷大

一丶无穷小

除0以外的任何很小的常数都不是无穷小

无穷小指的是函数值趋于0image-20220425103239247

二丶无穷大

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image-20220425105001382

f(x)为无穷大，那么倒过来就是无穷小

f(x)为无穷小，那么倒过来就是无穷大 而且f(x)不等于0

第五节 极限运算法则

定理1 两个无穷小的和也是无穷小

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有限个无穷小之和也是无穷小

无限个好像不一定

定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小

有界函数比如说是 sin cos 等等

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推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小

推论2 有限个无穷小的乘积是无穷小

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定理3 x都是趋于同一个极限的情况下

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推论1 如果lim f(x)存在而c为常数，那么c可以往外提

推论2 如果lim f(x)存在而n是正整数，先求极限在n次方

image-20220425142829822

定理4 同定理3差不多 把函数换成了数列

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定理5 如果一个函数比另外一个函数大那么极限也比它大

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极限运算的例题

例1代数 例二代数 例三因式分解代数 是0/0形态

例四 下面等于0所以等于无穷

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例题五 分子分母除以x的最高次或者求导

例题六也是如此 下面还有一个不一样的思路解法 除以x平方 无穷大的倒数是无穷小

例题七一样

分母为0 无穷大

分子为0 无穷小=0

分子分母最高次

相等为一个常数

分子大为无穷大

分母大为无穷小=0

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x趋于无穷的时候 才能用这个方法无穷小量分出法

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定理6 复合函数就直接代数进去image-20220425154944321

极限的题型

1.直接代数

2.分解因式 和 求导代数 法
$$
\frac{0}{0}
$$

3.分子分母除以x的最高次 或者 求导代数
$$
\frac{\infty}{\infty}
$$

4.除以系数最大的 比如下面这题就是除以4
$$
lim_{x\rightarrow\infty}\frac{2n+3n}{3n+4n}
$$

第六节 极限存在准则 两个重要极限

1.夹逼准则

$$
g(x)\leq f(x)\leq h(x)
$$

$$
limg(x)=A
$$

$$
limh(x)=A
$$

那么
$$
limf(x)=A
$$

image-20220502164324345

第一个重要极限

$$
lim_{x\rightarrow0}\frac{sinx}{x}=1
$$

image-20220502203153205

image-20220502204112724

第一个重要极限例题

image-20220502210229627

上面用了sin(arcsinx)=x

image-20220502210502380

2.单调有界数列必有极限

这里漏了第二个重要极限和柯西准则有空补回去

第七节 无穷小的比较

定义

image-20220503091546457

等价证明

image-20220503094623910

这里上面证明了下面这条式子 等价关系
$$
^n\sqrt{1+x}-1 \rightarrow\frac{1}{n}x
$$

两条定理

image-20220503095941971

等价无穷小关系的应用

image-20220503101317227

等价无穷小替换的小结论

image-20220503102508542

第八节 函数的连续性与间断性

一。函数的连续性

image-20220503142756463

右边两条式子函数连续性的两个定义

连续的要求

image-20220503143038411

image-20220503143722926

image-20220503152250988

三角函数的一些公式 积化和差 和差化积

二。函数的间断点

1无穷间断点 2振荡间断点 3可去间断点 4可去间断点 5跳跃间断点

image-20220503153355538

image-20220503154633868

image-20220503154910220

两类间断点的解释

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第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性

一.连续函数的和差积商的连续性

定理1

设函数f(x)和g(x)在点x0连续，则它们的和(差)f(x)+g(x),f(x)-g(x),积f(x)×g(x)，商f(x)/g(x) (g(x)≠0)

二.反函数与复合函数的连续性

定理2

如果函数y=f(x)在区间I上单调增(或单调减少) 且连续 那么他的反函数也在对应区间上单调增加(或单调减少) 且连续

例如 sinx 和 arcSinx cosx 和arcCosx tanx 和 arctinx cotx 和 arccotx

arcSinx arcCosx arctinx arccotx 在他们的定义域都是连续的

定理3

设函数y=f[g(x)]由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成, 若limg(x)=u0 ,而函数y=f(y)在u=u0连续，那么
$$
lim_{x\rightarrow0}f[g(x)]=f[lim_{x\rightarrow0}g(x)]
$$

定理4

设函数y=f[g(x)] 如果g(x)在x0处连续 g(x0)=u0 而f(u)也在u0处连续 那么复合函数y=f[g(x)]也在x0处连续

image-20220504104822653

三.初等函数的连续性

把下面的a和b算出来

image-20220504105343939

image-20220504110245153

image-20220504110750020

image-20220504112614052

第5题的思路 e抬起法

image-20220504113235254

第十节 闭区间上连续函数的性质

零点定理

image-20220504145115771

介值定理

image-20220504151658450

介值定理的几何理解

image-20220504152025141

题

image-20220504152548410

第二章 导数

1引论

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第一节 导数的定义

image-20220504164021401

image-20220504164612405

常用求导公式举例

就是那个求导怎么来见书本p77 或库课p56

单侧导数

f(x)在x0可导的充分必要条件是左导数右导数存在且相等

三。导数的几何意义

通过斜率求切线方程

记住斜截式

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四。函数可导性与连续性的关系

x0处可导则连续

连续不一定可导

第二节 求导法则

image-20220505163636553

反函数求导法则

卧槽宋

image-20220505195420936

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k1×k2 = 1 成对称

复合函数求导 怪题

x^x的时候 对数求导

image-20220506134708563

image-20220506135344736

image-20220506140412839

题

image-20220506141722846

​ 上下联合

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第三节 高阶导数

多次求导

书本和笔记上的n阶导数公式

第四节 隐函数 对数导数 参数求导

隐函数

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对数求导(5)

image-20220506171416265

对数求导

image-20220506185549220

image-20220506190958720

参数方程求导

image-20220508100708088

参数方程二阶导

image-20220508101157991

参数高阶求导

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第五节 函数的微分

微分就是求导后加dx

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复合微分也是直接导 加dx

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微分的几何意义

函数的近似计算

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▲x趋于零 才会比较准确 所以下面的那个是不怎么可取的▲太大了 误差会更大

image-20220508142323429

另外的一个角度理解题

image-20220508143821168

近似计算的公式

image-20220513171021073

第三章 微分中值定理及其导数的应用

罗尔中值定理

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拉格朗日中值定理

image-20220515132014585

推论1

image-20220515132059014

柯西中值定理

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柯西→拉格朗日→罗尔

洛必达

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洛必达三种情况

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洛必达例题题目

image-20220514145855356

image-20220514150536620

例题6的变种

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image-20220514154845105

第10题和小技巧

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5。尽量把常数朝外面摞

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posted @ 2022-05-15 13:31  RayHamJack  阅读(763)  评论(0)    收藏  举报