LeetCode-122：买卖股票的最佳时机 II，贪心的本质是收集每一段上坡

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题目概述

给定一个整数数组 prices，其中 prices[i] 表示某支股票第 i 天的价格。

你可以多次买卖（但任意时刻最多持有 1 股），求能获得的最大利润。

例如：

• 输入：prices = [7,1,5,3,6,4] → 输出：7
  • 第 2 天买入（价格 1），第 3 天卖出（价格 5），利润 4
  • 第 4 天买入（价格 3），第 5 天卖出（价格 6），利润 3
  • 总利润 = 4 + 3 = 7
• 输入：prices = [1,2,3,4,5] → 输出：4
  • 第 1 天买，第 5 天卖，利润 4（等价于每天赚 1）
• 输入：prices = [7,6,4,3,1] → 输出：0
  • 价格一路下跌，不做任何交易

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核心思路：只要明天涨，今天就买

和 LC121（只能买卖一次）不同，这题允许无限次交易。关键洞察是：

任何一段"从谷底到山顶"的利润，都可以拆解成相邻两天的涨幅之和。

举个例子，prices = [1, 3, 5]：

• 一次交易赚 5 - 1 = 4
• 拆成两天赚 (3-1) + (5-3) = 2 + 2 = 4

结果完全一样。这意味着：我们不需要真的去找谷底和山顶，只需要把所有相邻上涨的差值加起来就行了。

为什么这样做是最优的？ 因为最优解中每一笔交易"买入第 a 天，卖出第 b 天"的利润 prices[b] - prices[a] 可以展开为：

prices[b] - prices[a] = (prices[a+1] - prices[a]) + (prices[a+2] - prices[a+1]) + ... + (prices[b] - prices[b-1])

其中有些差值是正的（涨了），有些是负的（跌了）。如果我们只收集正的差值，利润只会更多或相等，不会更少。而贪心恰好做的就是这件事：跳过所有下跌，收集所有上涨。

所以贪心策略一定不差于任何最优方案，同时它自己也是可实现的（每段上涨都对应一次合法的买卖），因此它就是最优解。

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代码

解法一：贪心（推荐）

from typing import List


class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        profit = 0
        for i in range(1, len(prices)):
            if prices[i] > prices[i - 1]:
                profit += prices[i] - prices[i - 1]
        return profit

解法二：动态规划（hold / not-hold 状态机）

贪心虽然简洁，但如果你在面试中不确定贪心的正确性，可以用 DP 稳稳地推导。

定义两个状态：

• hold：第 i 天结束后持有股票时的最大利润
• cash：第 i 天结束后不持有股票时的最大利润

转移方程：

• hold = max(hold, cash - prices[i])（继续持有 or 今天买入）
• cash = max(cash, hold + prices[i])（继续空仓 or 今天卖出）

from typing import List


class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        hold = -prices[0]  # 第 0 天买入
        cash = 0           # 第 0 天不操作

        for i in range(1, len(prices)):
            new_hold = max(hold, cash - prices[i])
            new_cash = max(cash, hold + prices[i])
            hold, cash = new_hold, new_cash

        return cash

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逐行拆解

贪心解法

• profit = 0
  • 初始利润为 0，还没有做任何交易
• for i in range(1, len(prices))
  • 从第 2 天开始，每天和前一天比
• if prices[i] > prices[i - 1]
  • 今天比昨天贵 = 这段是上坡
• profit += prices[i] - prices[i - 1]
  • 把这段上坡的差价收入囊中

整个逻辑可以用一句话概括：只要涨了就赚，跌了就不动。

DP 解法

• hold = -prices[0]
  • 第 0 天如果持有股票，说明花了 prices[0] 买入，利润为 -prices[0]
• cash = 0
  • 第 0 天如果不持有，利润为 0
• new_hold = max(hold, cash - prices[i])
  • 要么延续昨天的持有状态，要么今天从空仓状态买入
• new_cash = max(cash, hold + prices[i])
  • 要么延续昨天的空仓状态，要么今天卖出手中股票
• 用 new_hold 和 new_cash 暂存是为了避免同一天的更新互相干扰
• 最终返回 cash，因为最后一天手里不持有股票才是最优的

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手动模拟

用 prices = [7, 1, 5, 3, 6, 4] 走一遍贪心：

天数 i	prices[i]	prices[i]-prices[i-1]	是否收集	profit
1	1	1 - 7 = -6	否（下跌）	0
2	5	5 - 1 = +4	是	4
3	3	3 - 5 = -2	否（下跌）	4
4	6	6 - 3 = +3	是	7
5	4	4 - 6 = -2	否（下跌）	7

最终返回 7。

再用 DP 走一遍同样的例子：

天数 i	prices[i]	hold	cash
0	7	-7	0
1	1	max(-7, 0-1) = -1	max(0, -7+1) = 0
2	5	max(-1, 0-5) = -1	max(0, -1+5) = 4
3	3	max(-1, 4-3) = 1	max(4, -1+3) = 4
4	6	max(1, 4-6) = 1	max(4, 1+6) = 7
5	4	max(1, 7-4) = 3	max(7, 1+4) = 7

最终返回 cash = 7，和贪心结果一致。

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复杂度分析

贪心解法：

• 时间复杂度：O(n) -- 遍历一次数组
• 空间复杂度：O(1) -- 只用了一个变量 profit

DP 解法：

• 时间复杂度：O(n) -- 遍历一次数组
• 空间复杂度：O(1) -- 只用了 hold 和 cash 两个变量（状态压缩后）

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总结

这道题的核心洞察：

多次交易的最大利润 = 所有相邻上涨的差价之和。不需要找谷底和山顶，逐天收集正差值就够了。

和 LC121 的对比：

	LC121（一次交易）	LC122（多次交易）
策略	维护历史最低价，计算当前卖出利润	收集所有正差值
核心变量	min_price, max_profit	profit（累加）
DP 状态	同样是 hold/cash，但 hold 只能从初始状态买入	hold 可以从任意 cash 状态买入

贪心写法只有三四行，但如果面试官追问"怎么证明贪心是对的"，记住关键论点：任意一笔交易的利润可以拆解为逐天差值之和，而贪心只收集正差值，所以不会比最优解差。

如果对贪心没有把握，DP 状态机（hold/cash）是万能模板，可以平移到 LC121、LC123、LC188 等所有股票系列题目。