LeetCode-287：寻找重复数，把数组看成“指针图”，用 Floyd 判环

本题在线练习：LeetCode 287. 寻找重复数 - 在线练习（免费 · 无需登录 · AI 辅助）(https://onefly.top/zero2Leetcode/playground.html?id=287)

配套刷题网站 Zero2Leetcode —— 内置本地 OJ + AI 教练，零门槛开始刷 Hot 100。

题目概述

给定一个长度为 n+1 的数组 nums，数字范围是 [1, n]，保证至少存在一个重复数字，且只要找出任意一个重复数字即可。

要求：

• 不能修改数组（在原题约束下）
• 额外空间尽量小
• 时间尽量快

这题的最经典解法是 Floyd 判环（快慢指针），把数组当成“链表”来理解。

核心思路：nums 定义了一个从下标到下标的映射

因为 nums[i] 的取值在 [1, n]，可以把它当成“下一跳的下标”：

i -> nums[i]

从下标 0 出发不断跳转：

0 -> nums[0] -> nums[nums[0]] -> ...

由于可到达的节点只有 1..n 这 n 个，但路径长度是 n+1 的跳转过程，必然会出现重复访问，也就是形成环。

环的入口对应的值，就是重复数字。

代码实现（Floyd 判环）

class Solution:
    def findDuplicate(self, nums: list[int]) -> int:
        # phase 1: find intersection in the cycle
        slow = nums[0]
        fast = nums[nums[0]]
        while slow != fast:
            slow = nums[slow]
            fast = nums[nums[fast]]

        # phase 2: find entrance to the cycle
        slow = 0
        while slow != fast:
            slow = nums[slow]
            fast = nums[fast]

        return slow

逐行拆解：为什么第二阶段能找到入口

Floyd 判环的结论：当快慢指针在环内相遇后，把其中一个指针放回起点，两个指针都每次走一步，它们会在环的入口相遇。

这里的“起点”用下标 0 表示，“走一步”就是 x = nums[x]。

环入口对应的值（也就是下标）就是重复数字。

手动模拟（直觉版）

例如 nums = [1,3,4,2,2]：

映射：

• 0 -> 1
• 1 -> 3
• 3 -> 2
• 2 -> 4
• 4 -> 2（这里回到 2，形成环 2 -> 4 -> 2）

入口是 2，所以重复数是 2。

进阶补充：二分计数法（可选思路）

也可以对值域 [1, n] 二分，统计 <= mid 的元素个数：

• 如果 count > mid，重复数在 [1, mid]
• 否则在 [mid+1, n]

时间 O(n log n)，空间 O(1)，但 Floyd 是 O(n) 更好。

复杂度分析

Floyd 判环：

• 时间：O(n)
• 空间：O(1)

总结

这题最关键的转化是：

把 nums[i] 当作下一跳下标，数组就变成了一个带环的“指针图/链表”。

理解了这个转化，Floyd 判环就顺理成章，且满足不修改数组、常数空间的要求。