LeetCode-295：数据流的中位数，用两个堆把“左右两半”分开

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题目概述

设计一个数据结构，支持：

• addNum(num)：加入一个数
• findMedian()：返回当前所有数的中位数

中位数定义：

• 奇数个元素：排序后中间那个
• 偶数个元素：排序后中间两个的平均值

关键要求是：不能每次都把所有元素排序，那会太慢。

核心思路：把数据分成“左半部分”和“右半部分”

中位数本质上只和“中间位置”有关。只要维护：

• 左半部分：所有较小的数
• 右半部分：所有较大的数

并且让两边的元素数量平衡（差不超过 1），就能在 O(1) 取到中位数。

用堆实现最自然：

• small：最大堆，保存左半部分（Python 用负号实现）
• large：最小堆，保存右半部分

维护不变量：

1. len(small) == len(large) 或 len(small) == len(large) + 1
2. 左半部分的最大值 <= 右半部分的最小值

这样：

• 如果左边多一个，中位数就是左边的最大值
• 否则，中位数是两边堆顶平均

代码实现（双堆）

import heapq


class MedianFinder:
    def __init__(self):
        self.small = []  # max-heap via negative numbers
        self.large = []  # min-heap

    def addNum(self, num: int) -> None:
        # 1) 先放到 small（左半部分）
        heapq.heappush(self.small, -num)

        # 2) 让 small 的最大值 <= large 的最小值
        if self.large and (-self.small[0] > self.large[0]):
            x = -heapq.heappop(self.small)
            heapq.heappush(self.large, x)

        # 3) 平衡元素个数：small 可以比 large 多 1
        if len(self.small) > len(self.large) + 1:
            x = -heapq.heappop(self.small)
            heapq.heappush(self.large, x)
        elif len(self.large) > len(self.small):
            x = heapq.heappop(self.large)
            heapq.heappush(self.small, -x)

    def findMedian(self) -> float:
        if len(self.small) > len(self.large):
            return float(-self.small[0])
        return (-self.small[0] + self.large[0]) / 2.0

逐行拆解：为什么要“先放 small 再修正”

把新数先放到 small，然后用两步修正不变量：

1. 如果 small 的最大值大于 large 的最小值，说明左右分区乱了，把 small 的堆顶挪到 large。
2. 再调整两边数量，使得 small 至多比 large 多一个。

这样每次 addNum 都是 O(log n)，但 findMedian 直接看堆顶就是 O(1)。

手动模拟：依次加入 [1, 2, 3, 4]

1. 加 1：
   • small=[1]，large=[]
   • median=1
2. 加 2：
   • small=[1]，large=[2]
   • median=(1+2)/2=1.5
3. 加 3：
   • small=[2,1]，large=[3]
   • median=2
4. 加 4：
   • small=[2,1]，large=[3,4]
   • median=(2+3)/2=2.5

复杂度分析

• addNum：O(log n)（堆操作）
• findMedian：O(1)
• 空间：O(n)

总结

这题最重要的点是：中位数只关心“中间”，不需要维护全排序。

把数据流拆成“左边最大堆 + 右边最小堆”，并保持数量平衡，就能稳定、快速地得到中位数。这也是很多“实时统计”题的通用套路。