LeetCode-072：编辑距离，把“最后一步做了什么”写成转移方程

本题在线练习：LeetCode 72. 编辑距离 - 在线练习（免费 · 无需登录 · AI 辅助）(https://onefly.top/zero2Leetcode/playground.html?id=72)

配套刷题网站 Zero2Leetcode —— 内置本地 OJ + AI 教练，零门槛开始刷 Hot 100。

题目概述

给定两个字符串 word1 和 word2，每次操作可以：

• 插入一个字符
• 删除一个字符
• 替换一个字符

求把 word1 变成 word2 的最少操作数，这就是经典的编辑距离（Levenshtein distance）。

核心思路：dp[i][j] 表示把前缀变成前缀的最小代价

设 dp[i][j] 表示把 word1[:i] 变成 word2[:j] 的最小编辑距离。

边界：

• dp[0][j] = j：空串变成长度为 j 的串，只能插入 j 次
• dp[i][0] = i：长度为 i 的串变成空串，只能删除 i 次

转移看“最后一步”：

1. 如果 word1[i-1] == word2[j-1]，最后一个字符不用动：

dp[i][j] = dp[i-1][j-1]

2. 如果不相等，最后一步可能是三种操作之一：

• 替换：把 word1[i-1] 替换成 word2[j-1]，代价 dp[i-1][j-1] + 1
• 删除：删除 word1[i-1]，代价 dp[i-1][j] + 1
• 插入：在 word1 末尾插入 word2[j-1]，代价 dp[i][j-1] + 1

取最小：

dp[i][j] = 1 + min(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j], dp[i][j-1])

代码实现（二维 dp）

class Solution:
    def minDistance(self, word1: str, word2: str) -> int:
        m, n = len(word1), len(word2)
        dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]

        for i in range(m + 1):
            dp[i][0] = i
        for j in range(n + 1):
            dp[0][j] = j

        for i in range(1, m + 1):
            for j in range(1, n + 1):
                if word1[i - 1] == word2[j - 1]:
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
                else:
                    dp[i][j] = 1 + min(
                        dp[i - 1][j - 1],  # 替换
                        dp[i - 1][j],      # 删除
                        dp[i][j - 1],      # 插入
                    )

        return dp[m][n]

逐行拆解：三种操作为什么对应这三个格子

把 word1[:i] 变成 word2[:j]：

• 替换：先把 word1[:i-1] 变成 word2[:j-1]，再替换最后一个字符
• 删除：先把 word1[:i-1] 变成 word2[:j]，再删除 word1 的最后一个字符
• 插入：先把 word1[:i] 变成 word2[:j-1]，再插入 word2 的最后一个字符

对应的就是 dp[i-1][j-1]、dp[i-1][j]、dp[i][j-1] 三个位置。

手动模拟：word1="horse", word2="ros"

最终答案为 3，一条可能的最优路径：

1. horse -> rorse（把 h 替换成 r）
2. rorse -> rose（删除一个 r）
3. rose -> ros（删除 e）

DP 表的作用是：不需要手工找路径，直接计算出最小代价。

复杂度分析

• 时间：O(mn)
• 空间：O(mn)（如果需要，可以滚动数组优化到 O(n)）

总结

编辑距离的转移看似复杂，但只要抓住一句话就稳了：

dp[i][j] 的来源，就是“最后一步”可能做了替换/删除/插入三种操作之一。

把这三种操作对应到三个相邻格子，转移方程就不需要背。