LeetCode-064：最小路径和，网格 DP 的“最小值版模板”

本题在线练习：LeetCode 64. 最小路径和 - 在线练习（免费 · 无需登录 · AI 辅助）(https://onefly.top/zero2Leetcode/playground.html?id=64)

配套刷题网站 Zero2Leetcode —— 内置本地 OJ + AI 教练，零门槛开始刷 Hot 100。

题目概述

给定一个 m x n 的非负整数网格 grid，从左上角走到右下角，每次只能向右或向下。求路径上数字之和的 最小值（通常包含起点和终点）。

这题和“不同路径”非常像，只是把“计数”换成了“取最小和”。

核心思路：到达 (i, j) 的最小代价

设 dp[i][j] 表示到达 (i, j) 的最小路径和。

最后一步同样只有两种来源：

• 从上方 (i-1, j) 走下来
• 从左方 (i, j-1) 走过来

所以转移：

dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]

边界：

• dp[0][0] = grid[0][0]
• 第一行只能从左边来（累加）
• 第一列只能从上边来（累加）

先从最自然的二维 DP 讲起

代码实现（二维 dp）

class Solution:
    def minPathSum(self, grid: list[list[int]]) -> int:
        m, n = len(grid), len(grid[0])
        dp = [[0] * n for _ in range(m)]
        dp[0][0] = grid[0][0]

        for j in range(1, n):
            dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j]
        for i in range(1, m):
            dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0]

        for i in range(1, m):
            for j in range(1, n):
                dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j]
        return dp[m - 1][n - 1]

逐行拆解：边界为什么要“累加”

第一行 (0, j) 只能从 (0, j-1) 来，因此最小和就是一路加过来。

第一列 (i, 0) 同理，只能从 (i-1, 0) 来。

从 (1,1) 起，每个格子才真正存在“从上或从左二选一”的分叉。

手动模拟：用例 grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]

初始化：

• dp[0][0] = 1
• 第一行：1, 4, 5
• 第一列：1, 2, 6

继续填：

• dp[1][1] = min(4, 2) + 5 = 7
• dp[1][2] = min(5, 7) + 1 = 6
• dp[2][1] = min(7, 6) + 2 = 8
• dp[2][2] = min(6, 8) + 1 = 7

答案 7，对应路径 1 -> 3 -> 1 -> 1 -> 1。

进阶：一维 DP 空间优化

同样的观察：dp[i][j] 只依赖上方和左方。用一维数组 dp[j] 表示“当前行到 j 的最小和”：

• 更新前 dp[j] 是上方的值
• dp[j-1] 已经更新为当前行的左方值

代码实现（一维 dp）

class Solution:
    def minPathSum(self, grid: list[list[int]]) -> int:
        m, n = len(grid), len(grid[0])
        dp = [0] * n
        dp[0] = grid[0][0]

        for j in range(1, n):
            dp[j] = dp[j - 1] + grid[0][j]

        for i in range(1, m):
            dp[0] = dp[0] + grid[i][0]
            for j in range(1, n):
                dp[j] = min(dp[j], dp[j - 1]) + grid[i][j]
        return dp[-1]

复杂度分析

• 时间：O(mn)
• 空间：二维 O(mn)，一维优化后 O(n)

总结

这题的关键不是“记住公式”，而是把 dp[i][j] 的含义说清楚：

dp[i][j] 是“到达当前格子的最小代价”，它来自上方或左方两条路里更便宜的那条。

只要这句话成立，代码就自然。