LeetCode-416：分割等和子集，把问题变成“能否凑出一半”

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题目概述

给定一个只包含正整数的数组 nums，判断是否能把它分成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

核心思路：总和为偶数才有机会，目标是凑出 sum/2

设数组总和为 S。

• 如果 S 是奇数，不可能分成两个和相等的子集，直接返回 False
• 如果能分成两半，那么一定存在一个子集的和为 S/2

于是原题变成：

是否能从 nums 中选一些数，使得它们的和恰好等于 target = S/2？

这就是典型的 0/1 背包（每个数只能用一次），做“可达性”判断。

DP 定义与转移（1 维布尔背包）

• dp[t]：是否能凑出和为 t

初始化：

• dp[0] = True（什么都不选就能凑出 0）

对于每个数字 x，更新：

dp[t] = dp[t] or dp[t - x]   (t 从 target 递减到 x)

必须从大到小遍历 t，避免一个数字在同一轮被重复使用（否则就变成完全背包了）。

代码实现

from typing import List


class Solution:
    def canPartition(self, nums: List[int]) -> bool:
        total = sum(nums)
        if total % 2 == 1:
            return False
        target = total // 2

        dp = [False] * (target + 1)
        dp[0] = True

        for x in nums:
            for t in range(target, x - 1, -1):
                dp[t] = dp[t] or dp[t - x]
            if dp[target]:
                return True

        return dp[target]

逐行拆解

• target = total // 2：只要能凑出一半，另一半自然也成立
• dp[0] = True：空集合可达 0
• 外层枚举每个 x：
  • 内层 t 从 target 递减：
    • dp[t - x] 为真表示“之前能凑出 t-x”，那么加上当前 x 就能凑出 t
  • 递减遍历保证 x 只用一次
• 提前返回：一旦 dp[target] 为真，答案就确定了

手动模拟

nums = [1, 5, 11, 5]

总和 S = 22，target = 11。

• 处理 1 后：可以凑出 1
• 处理 5 后：可以凑出 5, 6
• 处理 11 后：直接可以凑出 11（取单个 11）

因此返回 True。

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n * target)
• 空间复杂度：O(target)

总结

这题的关键是把“分成两份相等”翻译成一个更具体的目标：

只要能凑出总和的一半，就能分割成功。

然后用 0/1 背包的布尔 DP，配合“从大到小遍历”这一条规则，就能稳定写对。