LeetCode-152：乘积最大子数组，为什么要同时维护“最大”和“最小”

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题目概述

给定整数数组 nums，返回乘积最大的连续子数组的乘积。

这题和“最大子数组和”类似，但乘法会遇到一个关键点：负数会翻转大小关系。

核心思路：同时维护以 i 结尾的最大乘积和最小乘积

如果只维护“最大乘积”，会漏掉这样的情况：

• 当前数是负数，乘上“之前最小的负数”反而变成最大正数

因此需要两个状态：

• max_end：以当前位置结尾的最大乘积
• min_end：以当前位置结尾的最小乘积

当处理当前值 x 时，有三种可能的“以当前位置结尾”的子数组：

1. 只取自己：x
2. 接在之前最大后：max_end * x
3. 接在之前最小后：min_end * x

于是：

new_max = max(x, max_end * x, min_end * x)
new_min = min(x, max_end * x, min_end * x)

答案是过程中的 max_end 最大值。

代码实现（滚动 DP）

from typing import List


class Solution:
    def maxProduct(self, nums: List[int]) -> int:
        max_end = nums[0]
        min_end = nums[0]
        ans = nums[0]

        for i in range(1, len(nums)):
            x = nums[i]
            a = max_end * x
            b = min_end * x

            max_end = max(x, a, b)
            min_end = min(x, a, b)
            ans = max(ans, max_end)

        return ans

逐行拆解

a = max_end * x
b = min_end * x
max_end = max(x, a, b)
min_end = min(x, a, b)

• a 表示“把 x 接到之前最大乘积子数组后面”
• b 表示“把 x 接到之前最小乘积子数组后面”
• 对于最大乘积来说，b 也可能成为最大（当 x 为负数且 min_end 为负数）
• 对于最小乘积来说，a 也可能成为最小（同理）

手动模拟

以 nums = [2, 3, -2, 4]：

• 初始：max_end=min_end=ans=2
• x=3：
  • a=6, b=6
  • max_end=6, min_end=3, ans=6
• x=-2：
  • a=-12, b=-6
  • max_end=-2, min_end=-12, ans=6
• x=4：
  • a=-8, b=-48
  • max_end=4, min_end=-48, ans=6

答案是 6（子数组 [2,3]）。

再看一个容易翻车的例子 nums = [-2, 3, -4]：

• 初始：max_end=min_end=-2
• x=3：max_end=3, min_end=-6
• x=-4：max_end = max(-4, 3*-4=-12, -6*-4=24) = 24

最大乘积来自“负负得正”的翻转。

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(1)

总结

这题的精髓只有一句话：

乘法遇到负数会翻转大小，所以必须同时维护“最大积”和“最小积”。

掌握 max_end/min_end 这对状态后，乘积类的 DP 题会变得非常套路化，不容易被符号变化绕晕。