LeetCode-139：单词拆分，dp[i] 代表“前缀能否被拼出来”

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题目概述

给定字符串 s 和一个单词字典 wordDict，判断 s 是否能被拆分成若干个字典中的单词（单词可重复使用）。

例如：

• s = "leetcode", wordDict = ["leet","code"] -> True

核心思路：前缀 DP（能不能拆）

这题看似是在“找一条拆分路径”，但问题只问 True/False，所以可以用布尔 DP。

定义：

• dp[i]：s[:i]（前 i 个字符）能否被字典拆分出来

那么 dp[0] = True（空串可以被“拆分成功”）。

转移：

要让 dp[i] = True，只需要找到一个切分点 j：

• dp[j] 为真（前缀可拆）
• s[j:i] 在字典里

也就是：

dp[i] = any(dp[j] and s[j:i] in wordSet for j in [0..i))

代码实现（标准写法）

from typing import List


class Solution:
    def wordBreak(self, s: str, wordDict: List[str]) -> bool:
        word_set = set(wordDict)
        n = len(s)
        dp = [False] * (n + 1)
        dp[0] = True

        for i in range(1, n + 1):
            for j in range(i):
                if dp[j] and s[j:i] in word_set:
                    dp[i] = True
                    break

        return dp[n]

进阶：用“最长单词长度”剪枝

字典里单词长度通常有限，可以把内层循环缩小到最近的 max_len 范围。

from typing import List


class Solution:
    def wordBreak(self, s: str, wordDict: List[str]) -> bool:
        word_set = set(wordDict)
        max_len = max((len(w) for w in wordDict), default=0)

        n = len(s)
        dp = [False] * (n + 1)
        dp[0] = True

        for i in range(1, n + 1):
            start = max(0, i - max_len)
            for j in range(start, i):
                if dp[j] and s[j:i] in word_set:
                    dp[i] = True
                    break

        return dp[n]

逐行拆解（剪枝版）

• dp[0] = True：空前缀可拆，后续才能从这里“接上”
• 对每个 i，只枚举 j 在 [i-max_len, i)：
  • 因为再往前的 j 会让 s[j:i] 长度超过字典里任何单词，不可能命中
• 一旦找到某个 j 让条件成立，就可以提前 break

手动模拟

s = "leetcode", wordDict = ["leet", "code"]

• dp[0]=True
• 当 i=4，s[0:4]="leet" 在字典里且 dp[0]=True，所以 dp[4]=True
• 当 i=8，s[4:8]="code" 在字典里且 dp[4]=True，所以 dp[8]=True

最终 dp[n]=True。

复杂度分析

不剪枝版本：

• 时间复杂度：O(n^2)（子串查找在 set 中平均 O(1)，但切片会产生子串，实际常数较大）
• 空间复杂度：O(n)（dp 数组）

剪枝后：

• 时间复杂度：O(n * max_len)（更接近实际表现）

总结

这题的关键不是“怎么拼出一条路径”，而是把它变成一句前缀判断：

dp[i] 只关心 s[:i] 能不能被拆出来；最后一个单词来自某个切分点 j。

掌握这个前缀 DP 模板后，很多字符串切分/拼接类题都能用同一套路解决。