LeetCode-322：零钱兑换，不要贪心，最稳的是完全背包 DP

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题目概述

给定硬币面额数组 coins（每种硬币数量无限）和目标金额 amount，要求用最少硬币数凑出 amount。

• 能凑出：返回最少硬币数
• 凑不出：返回 -1

核心思路：dp[x] = 凑出 x 的最少硬币数

这题最常见的误区是直接贪心（先拿最大面额），但贪心在一般硬币系统下并不保证最优。

稳妥做法是 DP：

• dp[x]：凑出金额 x 的最少硬币数

初始化：

• dp[0] = 0
• 其他设为无穷大（表示暂时不可达）

转移（完全背包思想）：

对每个金额 x，尝试“最后一枚硬币选 coins 中的某个面额 c”：

dp[x] = min(dp[x], dp[x - c] + 1)   (x >= c)

代码实现（一维 DP）

from typing import List


class Solution:
    def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
        INF = 10**9
        dp = [INF] * (amount + 1)
        dp[0] = 0

        for x in range(1, amount + 1):
            for c in coins:
                if x >= c:
                    dp[x] = min(dp[x], dp[x - c] + 1)

        return -1 if dp[amount] >= INF else dp[amount]

逐行拆解

• dp[0] = 0：凑出 0 元不需要硬币
• 对每个 x：
  • 枚举一枚硬币 c
  • 如果 x - c 可达，则 dp[x - c] + 1 是一种方案
  • 取最小硬币数
• 最后如果 dp[amount] 仍是 INF，说明凑不出

手动模拟（coins = [1,2,5], amount = 11）

dp 从小到大推：

• dp[1] = dp[0]+1 = 1
• dp[2] = min(dp[1]+1, dp[0]+1) = 1（用 2）
• dp[5] = 1（用 5）
• dp[10] = 2（5+5）
• dp[11] = dp[10]+1 = 3（5+5+1）

答案为 3。

复杂度分析

• 时间复杂度：O(amount * len(coins))
• 空间复杂度：O(amount)

总结

“零钱兑换”要牢牢记住两点：

1. 一般情况下贪心不可靠（除非题目保证硬币体系满足某些性质）
2. 用 DP 写成“最少步数”模型最稳：dp[x] = min(dp[x - c] + 1)

这就是一类非常经典、可复用的完全背包模板题。