LeetCode-279：完全平方数，用“最短路思维”写出最稳的 DP

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题目概述

给定一个正整数 n，要求用若干个完全平方数（如 1, 4, 9, 16, ...）相加得到 n，并返回所需的最少平方数个数。

例如：

• n = 12，可以是 4 + 4 + 4，最少是 3
• n = 13，可以是 4 + 9，最少是 2

核心思路：把它当作“最少步数”的 DP

这题问的是“最少个数”，很像最短路/最少步数：

从 0 走到 n，每一步可以加上一个平方数 s，代价是 +1 步。最少步数就是答案。

用 DP 表达就是：

• dp[x]：凑出和为 x 的最少平方数个数

初始化：

• dp[0] = 0
• 其他先设成一个很大的数

转移：

对每个 x，尝试最后一步选择一个平方数 s = k*k（且 s <= x）：

dp[x] = min(dp[x], dp[x - s] + 1)

代码实现（经典一维 DP）

class Solution:
    def numSquares(self, n: int) -> int:
        squares = []
        k = 1
        while k * k <= n:
            squares.append(k * k)
            k += 1

        INF = 10**9
        dp = [INF] * (n + 1)
        dp[0] = 0

        for x in range(1, n + 1):
            for s in squares:
                if s > x:
                    break
                dp[x] = min(dp[x], dp[x - s] + 1)

        return dp[n]

逐行拆解

1. 先把 <= n 的平方数列出来，这样内层循环不需要每次重新算平方。
2. dp[x] 表示“最少用几块砖（平方数）拼出长度 x”。
3. 计算 dp[x] 时，枚举最后放的那块砖 s，剩下的长度是 x - s：
   • 如果 dp[x - s] 已经是最少块数，那么 dp[x - s] + 1 是一种可行拼法
   • 对所有 s 取最小即可

手动模拟（n = 12）

平方数集合是 [1, 4, 9]。

• dp[1] = dp[0] + 1 = 1
• dp[4] = min(dp[3]+1, dp[0]+1) = 1（直接用 4）
• dp[8] = min(dp[7]+1, dp[4]+1) = 2（4+4）
• dp[12] = min(dp[11]+1, dp[8]+1, dp[3]+1) = 3（4+4+4）

复杂度分析

设 m = floor(sqrt(n))，平方数个数是 m：

• 时间复杂度：O(n * sqrt(n))
• 空间复杂度：O(n)

总结

这题最重要的是抓住“最少个数”这个关键词，然后把问题固定成一个标准模型：

dp[x] = 凑到 x 的最少步数，最后一步枚举一个平方数。

一旦写出 dp[x] = min(dp[x - k^2] + 1)，实现就非常直接，而且这一套思路还能复用到很多“最少硬币/最少步数”的题里。