LeetCode-051：N 皇后，用列/对角线约束把搜索空间砍到可控

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题目概述

在 n x n 的棋盘上放置 n 个皇后，使得任意两个皇后都不能互相攻击（同一行、同一列、同一对角线都不行）。返回所有不同的解决方案。

输出形式是棋盘字符串数组：'Q' 表示皇后，'.' 表示空格。

核心思路：按行放皇后，每一行只放一个

如果一行能放多个皇后，状态会非常乱。正确的观察是：

每行必须且只需要放一个皇后。

因此可以按行回溯：

• 第 row 行尝试把皇后放在所有合法列 col
• 放下后递归 row+1
• 回退，撤销占用的列与对角线

要快速判断“是否冲突”，维护三个集合：

• cols：哪些列已经有皇后
• diag1：主对角线 row - col（值相同表示同一条主对角线）
• diag2：副对角线 row + col（值相同表示同一条副对角线）

代码实现（Python，可直接提交）

from typing import List


class Solution:
    def solveNQueens(self, n: int) -> List[List[str]]:
        cols = set()
        diag1 = set()  # row - col
        diag2 = set()  # row + col
        board = [["."] * n for _ in range(n)]
        res = []

        def dfs(row: int) -> None:
            if row == n:
                res.append(["".join(r) for r in board])
                return

            for col in range(n):
                if col in cols:
                    continue
                d1 = row - col
                d2 = row + col
                if d1 in diag1 or d2 in diag2:
                    continue

                cols.add(col)
                diag1.add(d1)
                diag2.add(d2)
                board[row][col] = "Q"

                dfs(row + 1)

                board[row][col] = "."
                diag2.remove(d2)
                diag1.remove(d1)
                cols.remove(col)

        dfs(0)
        return res

逐行拆解：对角线为什么用 row-col 和 row+col？

以主对角线为例（从左上到右下）：

• 同一条主对角线上的格子，row - col 是相同的
  • 例如 (0,0)、(1,1)、(2,2) 都有 row-col=0

副对角线（从右上到左下）：

• 同一条副对角线上的格子，row + col 是相同的
  • 例如 (0,2)、(1,1)、(2,0) 都有 row+col=2

因此用这两个值就能 O(1) 判断对角线冲突。

手动模拟：n=4 时第一步为何能剪枝很多？

第 0 行随便放一个皇后后：

• 某一列被占用
• 两条对角线被占用

第 1 行可选的列会立刻减少，很多位置被快速排除。随着行数增加，冲突约束越来越多，搜索树就被剪得很小，这也是 N 皇后能用回溯做的原因。

复杂度分析

• 时间复杂度：最坏接近 O(n!) 级别（每行选择一个列，且剪枝很强）
• 空间复杂度：O(n)（递归深度 + 三个集合，不含输出）

总结

N 皇后的关键不在“多聪明”，而在于建模：按行放置，把“行约束”直接消掉；再用列与对角线的集合实现 O(1) 冲突检测，回溯才会高效且不易写错。