随机过程的极限理论中的一个性质证明

随机过程的极限理论中的一个性质证明

先说明一下要证明的性质，来源于: 《Limit Theorems for Stochastic Processes》P5.

proposition1.21
Let \(X\) be an optional process. When considered as a mapping on \(\Omega\)\(\times\)\(R_+\), it is \(\mathscr{F} \bigotimes \mathscr{R}_+\)-measurable. Moreover, if T is a stopping time, then

• \(X_T1_{\{T<\infty\}}\) is \(\mathscr{F}_T\)-measurable(hence, \(X\) is adapted).
• the stopped process \(X^T\) is also optional.

基本概念

• optional process: 对optional field \(\mathscr{O}\) 可测的Process.
• optional-field \(\mathscr{O}\): 由所有cadlag且adapted的process所生成的\(\sigma\)-field.
• cadlag: process的path是左极右连的.
• path: 固定process的自变量\(\omega\)，随时间\(t\)变化的\(X(\omega,t)\)即是process \(X\)的path.
• adapted: 对于任意的正实数t，都有\(X_t\)关于\(\mathscr{F}_t\)可测，则说明这个process \(X\)关于Filtration \(F\)是adapted的.
• \(\mathscr{F}_T\): 如果T是一个停时，则\(\mathscr{F}_T\)为\(\mathscr{F}\)中对于任何时间t，都满足\(A\bigcap\{T< \infty \} \in \mathscr{F}_t\)的集合A所构成的集合.
• 停时: 是一个满足\(\{T<\infty\}\in \mathscr{F}_t\)的从\(\Omega\)到\(\overline{R}_+\)上的映射.

证明过程

书上已经证明了对于所有的cadlag adapted process，proposition 1.21 所陈述的性质都成立，但并没有详细阐述为什么对于optional process这些性质都成立(cadlag且adapted的process一定是Optional process, 但反之却并不成立，即cadlag adapted process只是Optional process的一个子集，故该证明并不详尽).
我们将在书上已有的证明过程与结果之上，完善整个证明过程.

单调类定理

书上给了利用单调类定理的提示，尽管目前这条路还未走通.

函数单调类定理
\(\mathscr{A}\)为一个包含\(\Omega\)的\(\pi\)-system, 而\(H\)为由从\(\Omega\)到\(\mathbb{R}\)的函数组成的函数类. 如果满足以下条件

• 对于任意的\(A\in\mathscr{A}\), 有\(1_A\)是属于\(H\)的;
• 对于任意的\(f,g \in H\)，有\(f+g \in H\)以及对于任意的常数c, 有\(cf\in H\).
• 若\({f_n}\)是\(H\)中单调不减，收敛至\(f\)的函数列，有\(f\)也属于\(H\).

则\(H\)中包含了所有对\(\sigma(\mathscr{A})\)可测的函数.

证明过程

利用单调类定理进行证明，可知，我们只需要满足proposition 1.21的函数类包含了所有Optional process即可说明所有的optional processes是满足position 1.21的.
关键在于如何确定\(\pi\)-system与函数类\(H\).
在这里，我首先确定了函数类\(H\)，并以此来证明单调类定理的后两个条件（可以看到，后两个条件与\(\pi\)系的选定是无关的）.

• 函数类\(H\): 所有满足Proposition 1.21 的从\(\Omega\times\mathbb{R}_+\)到\(\mathbb{R}\)的全体函数
• \(\pi\)-system \(\mathscr{A}\): 暂且未定

证明函数类\(H\)满足单调类定理的后两个条件

• 对于任意的\(f,g \in H\)，有\(f+g \in H\)以及对于任意的常数c, 有\(cf\in H\).
• 若\({f_n}\)是\(H\)中单调不减，收敛至\(f\)的函数列，有\(f\)也属于\(H\).
  由于\(H\)是满足proposition 1.21的全体process构成的类，而proposition 1.21有三条性质，故在此对\(H\)的三个性质分别来进行验证

• \(\mathscr{F} \bigotimes \mathscr{R}_+\)-measurable（第一条性质）

由于已知cadlag且adapted的Process是满足 \(\mathscr{F} \bigotimes \mathscr{R}_+\)-measurable的，即说明\(\sigma(X)\subseteq \mathscr{F} \bigotimes \mathscr{R}_+\).
而我们知道optional field\(\mathscr{O}\)为\(\bigvee \sigma(X)\)，故而\(\mathscr{O}\subseteq \mathscr{F} \bigotimes \mathscr{R}_+\).
对于这一条性质而言，并不需要利用单调类定理进行验证，即可说明optional process一定是\(\mathscr{F} \bigotimes \mathscr{R}_+\)可测的.

• \(\mathscr{F} \bigotimes \mathscr{R}_+\)-measurable（第二条性质）