Atcoder Beginner Contest 260 problem E 题解

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题目大意

给定\(N\)对数和一个整数\(M\)，第\(i\)对数包含两个数\(A_i,B_i\)。定义一个长度为\(M\)的序列\(C\)是好的，当且仅当满足:\(C\)是数列\((1,2,…,M)\)的一段连续子序列，且\(N\)对数中每一对数都至少有一个数出现在\(C\)中。

定义函数\(f(K)\)，表示长度为\(K\)的满足以上定义的数列的个数。

要求输出\(f(1),f(2),…,f(M)\)。

第一行输入\(N,M\)，以后\(N\)行，每行两个数\(A_i,B_i\)。

样例输入1

3 5
1 3
1 4
2 5

样例输出

0 1 3 2 1

样例解释1

下面是所有的好的数列：

• \((1,2)\)
• \((1,2,3)\)
• \((2,3,4)\)
• \((3,4,5)\)
• \((1,2,3,4)\)
• \((2,3,4,5)\)
• \((1,2,3,4,5)\)

样例输入2

1 2
1 2

样例输出2

2 1

样例输入3

5 9
1 5
1 7
5 6
5 8
2 6

样例输出3

0 0 1 2 4 4 3 2 1

数据范围

• \(1 \leq N \leq 2 \times 10^5\)
• \(2 \leq M \leq 2 \times 10^5\)
• $1 \leq A_i < B_i \leq M $
• 所有输入均为整型数。

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解析

我们可以对每一个数(\(A_i\)或\(B_i\))，添加一个属性：\(v[i]\)表示数\(i\)出现在那些编号的数对中。例如，在样例1中，数\(1\)出现在了第\(1\)和第\(2\)二对数中，则\(v[1]=\){\(1,2\)}。因为会有多个数，所以我们用\(vector\)来存储。

容易想到，如果一段数列中，所有的数的\(v[i]\)中，如果包含了\(1\)到\(N\)，那么说明这段序列一定是好的。另外，不难想到，如果一段序列是好的，那么这段序列向外扩展出的序列也一定是好的。

因此，这道题的思路就像滑动窗口一般。先定下窗口左端，然后枚举窗口右端。若某时某刻，找到了一段好的序列，那么这之后的序列一定都是好的序列。

而对于答案统计，我们可以用差分来实现。

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e5+5;
int n,m;
int a[N],b[N];
int cnt[N],ans[N]; //cnt[j]表示在一段序列中，数i的v[i]中的元素j出现的个数
vector<int>v[N]; //v[i]
int main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cin>>a[i]>>b[i];
	for(int i=1;i<=n;i++){
		v[a[i]].push_back(i);
		v[b[i]].push_back(i);
	}
	int cntn=n; //cntn表示在寻找好的序列时，剩余未出现的数对的个数
	for(int i=1,j=1;i<=m;i++){ //i为左端点
		while(j<=m&&cntn){ //将右端点j向右移
			for(auto &c:v[j]){//枚举v[j]并标记
				if(cnt[c]==0) cntn--; //若数对c没有出现过，则标记
				cnt[c]++;
			}
			j++;
		} 
		if(cntn) break; //cntn=0,说明找到了好的序列，则更新nas数组
		//如果cntn!=0,那么说明右端点找到了最后都没有找到好的序列，那么左端点再向右移也不可能再找到了，就退出循环
		ans[j-i]++;ans[m+1-i+1]--; //更新答案
		for(auto &c:v[i]){
			cnt[c]--;
			if(cnt[c]==0)cntn++;
		}//将左端点右移，并将之前统计过的数还原
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		ans[i]+=ans[i-1];
		cout<<ans[i]<<" ";
	}
	return 0;
}

完结撒花~