关于数位DP

数位DP如其名字，对于一个整数，将其每个数位作为阶段进行DP，题目要求往往是在某个区间内满足某个条件的数有多少个，区间长度也往往很大，一般超过10的八次方，也就没办法一个个枚举然后check。当然，也有其他形式的，但其都有一个共同点，数需要满足的条件可以通过数位之间的关系来表达和判断。并且无后效性。
考虑为什么以数位作为阶段能优化复杂度，这是因为对于一个数，可能在我知道它的前几位或者后几位的信息后就不合法了，然而我依旧花了时间check它，而且如果我能在一个较高的数位就确定其不合法，那么一个个枚举必然浪费极多时间。
而以数位作为阶段的话，一是因为可能在某一位我们就能确定其后数位无论如何都不合法，就能省去很多无效遍历，还有就是对于两个数，其中一个数可能已经遍历过了，并且根据这个数可以直接推出另一个数的合法情况。这样不就省去了甚多情况。

例题：windy数

题目意思很明显，考虑从高到低的数位上进行dp，采用递归的形式，显然每次需要传递的参数为位置，前一个数，是否到了上界，以及有没有前导零。
然后分情况来写就行。递归边界是数位为1的时候，问题很容易解决。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int dp[10][10][2][2];
vector<int> ans;
int dfs(int pos,int pre,bool reach,bool head){
	int res = 0;
	if(dp[pos][pre][reach][head])return dp[pos][pre][reach][head];
	if(pos==1){
		if(!reach){
			if(head){
				return 10;
			}else {
				for(int i = 0;i <= 9;i ++){
					if(abs(i - pre) < 2)continue;
					res ++;
				}
			}
		}else {
		    if(head){
				return ans[0];
			}else {
				for(int i = 0;i <= ans[0];i ++){
					if(abs(i - pre) < 2)continue;
					res ++;
				}
			}	
		}
		return res;
	}
	if(!reach){
		if(head){
			for(int i = 0;i <= 9;i ++){
				bool flg1 = 0;
				if(i==0)flg1 = 1;
				res += dfs(pos - 1,i,0,flg1);
			}
		}else {
			for(int i = 0;i <= 9;i ++){
				bool flg1 = 0;
				if(abs(i - pre)<2)continue;
				res += dfs(pos - 1,i,0,0);
			}
		}
	}else {
		if(head){
			for(int i = 0;i <= ans[pos-1];i ++){
				bool flg1 = 0;
				bool flg2 = 0;
				if(i==0)flg1 = 1;
				if(i==ans[pos-1])flg2 = 1;
				res += dfs(pos - 1,i,flg2,flg1);
			}
		}else {
			for(int i = 0;i <= ans[pos-1];i ++){
				bool flg1 = 0;
				bool flg2 = 0;
				if(abs(i - pre)<2)continue;
				if(i==ans[pos-1])flg2 = 1;
				res += dfs(pos - 1,i,flg2,0);
			}
		}
	}
	dp[pos][pre][reach][head] = res;
	return res;
}


int sol(int x){
	if(x<10)return x + 1;
	
	ans.clear();
	int cnt = 0;
	while(x){
		ans.push_back(x%10);
		x/=10;
		cnt ++;
	}
	int res = 0;
	for(int i = 0;i <= ans[cnt - 1];i ++){
		bool flg1 = 0,flg2 = 0;
		if(i==0)flg1 = 1;
		if(i==ans[cnt-1])flg2 = 1;
		res += dfs(cnt - 1,i,flg2,flg1);
	}
	return res;
}
signed main(){
	int a,b;
	cin >> a >> b ;
	cout << sol(b) - sol(a-1);
	return 0;
}

例题：花神的数论题

该题只需转化一下，变为二进制，同时把答案统计方式从加法改为乘法即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int const maxn = 100;
int const mod = 1e7+7;
vector<int> num;
int dp[maxn][maxn][2];
int dfs(int pos,int cnt,int reach){
	int res = 1;
	if(dp[pos][cnt][reach])return dp[pos][cnt][reach];
	if(pos==1){
		if(!reach){
			if(cnt!=0)res = res *cnt%mod;
			res = res * (cnt + 1) %mod;
		}else {
			for(int i = 0;i <= num[0];i ++){
				if(cnt + i==0)continue;
				res = res * (cnt + i)%mod;
			}
		}
		return res;
	}
	if(!reach){
		res = res*dfs(pos-1,cnt+1,0)%mod;
		res = res*dfs(pos-1,cnt,0)%mod;
	}else {
		for(int i = 0;i <= num[pos- 1];i ++){
			res = res *dfs(pos-1,cnt + i,(i==num[pos-1]))%mod;
		}
	}
	dp[pos][cnt][reach] = res;
	return res;
}

int sol(int x){
	while(x){
		num.push_back(x&1);
		x/=2;
	}
	if(num.size()<=1){
		if(num[0]){
			return 1;
		}else {
			return 0;
		}
	}
	int res = 1;
	res = dfs(num.size() - 1,1,1)%mod;
	res = res * dfs(num.size() - 1,0,0)%mod;
	return res;
}
signed main(){
	int n;
	cin >> n;
	cout << sol(n);
}