\[\mathscr{Lorain~y~w~la~Lora~blea.}
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\]
几个月前刷知乎刷到 \(3\times 8\neq 8\times 3\)，气笑了，遂摸一篇魔怔。（
乘法的本质，是相同数相加的简便运算，规定算式顺序，更是对数量关系的精准表达。
你在说哪位“乘法”呢？我知道不是实数乘法，因为实数乘法的本质就是几条实数公理；我也知道不是 Peano 乘法，因为你希望我相信乘法交换律是不证自明的。我猜你在说的不过是一种“直觉乘法”——乘法的操作数必须具有现实对应：所谓“被乘数”必须对应某种“单位数量”，所谓“乘数”必须对应某种“份数”，乘法的结果自然就是“若干份单位数量的物品放在一起的总数量”。
作为希望被培养成思考者的小学生，我有些遗憾：在小学数学中，数学仍然被现实束缚手脚。我必须时刻留意每个数学对象的现实对应，这如何培养我的抽象思维？
一个简单的数学约定，能让学生明白这背后的不同逻辑。
明白“这背后不同逻辑”的前提是，这背后存在逻辑。作为希望被培养成思考者的小学生，我思考七七四十九天，终于明白了老师在我的满分试卷上硬生生扣掉九九八十一分的逻辑：
定义 1：小学标量
集合 \(S\) 表示小学标量集合，它由“不带单位的数值”构成。作为小学生，我可以把 \(S\) 直接取为正整数集合。\(\x\) 是 \(S\) 上的二元运算，它满足：
- （小学教材·构造性公理）\(\x\) 是相同数相加的简便运算；
- （小学教材·单位元公理）\(1\in S\) 是乘法单位元；
- （小学教材·结合律公理）\(\x\) 具有结合律（进而 \((S,\x,1)\) 是幺半群）；
- （小学教材·交换律公理）\(\x\) 具有交换律（进而 \((S,\x,1)\) 是交换幺半群）。
至于这些公理是否正交，作为小学生的我不知道怎么研究。至少梦里梦见它们是不正交的。作为希望被培养成思考者的小学生，我不知道老师为什么从来不讲交换律能否被证明。
要是知道我到高中才会证这个，我要不还是退学算了。
定义 2：小学纲量
集合 \(D\) 表示小学纲量（总觉得把这俩字反过来打会污染我的输入法）集合，它以所有基本单位作为生成元，由 \(D\) 上的二元运算 \(\x\) 生成的自由群。
以 \(\varnothing\) 记空单位，\((D,\x,\varnothing)\) 不交换。
定义：小学量
小学量集合 \(P:=S\x D\), \(P\ni\ul x=(s,\u{d})\)。\(\odot\) 是 \(P\) 上的乘法，即大名鼎鼎的小学乘法，它满足：
\[(s_1,\u{d}_1)\odot(s_2,\u{d}_2):=(s_1\x_S s_2,\u{d_1}\x_D\u{d}_2).
\]
没错，这就是小学乘法背后的逻辑！这个 \(\odot\) 的确是不交换的！我终于明白老师的深意了！例如：
\[\ALI{
3\text{个/份}\odot 8\text{份} &= (3,\text{个}\x_D\text{份}^{-1})\odot(8,\text{份})\\
&= (3\x_S 8,\text{个}\x_D\text{份}^{-1}\x_D\text{份})\\
&= (24,\text{个})\\
&= 24\text{个}.
}
\]
这是对的，然而
\[\ALI{
8\text{份}\odot 3\text{个/份} &= (8,\text{份})\odot(3,\text{个}\x_D\text{份}^{-1})\\
&= (8\x_S 3,\text{份}\x_D\text{个}\x_D\text{份}^{-1})\\
&= (24,\text{份}\x_D\text{个}\x_D\text{份}^{-1})\\
&= 24\text{份个/份}\neq 24\text{个}.
}
\]
我怎么能算出 \(\text{份个/份}\) 这种荒谬的单位呢？
我知道你在想什么。哦不，作为小学生的我梦到了有人在想什么：他们想构造一些创飞这个量纲规则的式子。他们说：
\[p=\frac{F}{S}.
\]
他们嚷着这是压强的定义式什么的，我也不知道是啥，但我知道 \(p\) 的单位是 (上下文明确时省略群运算符号)：
\[(\u{kg}\x_D \u m\x_D \u{s^{-2}})\x_D(\u{m^{-2}})=\u{kg~m~s^{-2}~m^{-2}}.
\]
那这就定义出压强的单位。连小学生都知道这个单位里的 \(\u m\) 和 \(\u{m^{-2}}\) 是不能约掉的。
现在请听题：
\[\ALI{
p\overset{?}=\CAS{
\rho gh,\\
\rho hg,\\
g\rho h,\\
gh\rho,\\
h\rho g,\\
hg\rho,\\
\text{钝角}.
}
}
\]
我猜它们的单位分别是
\[\begin{array}{c|c|c|c}
p&\rho&g&h\\\hline\\
\u{kg~m~s^{-2}~m^{-2}}&\u{kg~m^{-3}}&\u{m~s^{-2}}&\u{m}
\end{array}
\]
作为希望被培养成思考者的小学生，我一定知道如何正确使用乘法。经过六六三十六天的计算，我发现 \(p\) 不能用 \(\rho,g,h\) 的任意顺序的乘积表达。作为擅长得分的小学生，我知道 \(p=\text{钝角}\)。
好了魔怔到此结束。规定乘法顺序无非是想让小学生在式子里写一些“隐形的注释”，确认他们“知道自己在算什么”而不是“猜测把这堆数字乘起来就是答案”，无可厚非。其实中考物理里要求物理量带着单位运算就是一种很好的“注释”形式。积极地理解，规定乘法顺序只是在量纲概念本就模糊的小学阶段的一种不得已的产物。我也不觉得这种规定真的会“限制思维”，反正戴着的镣铐已经够多了，不差这一个。
至于“一个简单的数学约定，能让学生明白这背后的不同逻辑”——
纯傻福。
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