Solution -「FJWC 2020」人生

\(\mathcal{Description}\)

  OurOJ.

  有 \(n\) 个结点，一些结点有染有黑色或白色，其余待染色。将 \(n\) 个结点染上颜色并连接有向边，求有多少个不同（结点颜色不同或边不同）的图，满足：

• \(\forall \lang u,v\rang\in E,~1\le u<v\le n\)；
• 相邻两点颜色不同的路径条数（包括单点）为奇数。

  答案对 \(998244353\) 取模。

  \(n\le2\times10^5\)。

\(\mathcal{Solution}\)

  DP，显然从后往前考虑每个结点的连边情况。为方便理解，不妨设 \(g(u)\) 表示在某个确定的图上，从 \(u\) 出发的合法路径条数。发现对 \(g(u)\) 的奇偶性有影响的连边 \(\lang u,v\rang\) 中，应满足 \(v\) 与 \(u\) 异色且 \(2\not\mid g(v)\)，且我们只关心如此 \(v\) 的个数。

  然则需求信息量较小，可以开始 DP，令 \(f(i,w,b)\) 表示已为大于等于 \(i\) 的结点染好颜色，且白色的满足 \(2\not\mid g(v)\) 的 \(v\) 有 \(w\) 个，黑色的满足 \(2\not\mid g(v)\) 的 \(v\) 有 \(b\) 个。对于 \(f(i+1,w,b)\)，一共已经确定完 \(c=n-i+1\) 个结点，不妨设 \(i\) 的颜色为白色，则有转移：

• \(f(i,w,b)\longleftarrow [b\not=0]2^{c-1}f(i+1,w,b)\)；
• \(f(i,w+1,b)\longleftarrow2^{c-[b\not=0]}f(i+1,w,b)\)；

答案则为

\[\sum_{2\mid(w+b)}f(1,w,b) \]

  注意到转移仅与 \(w,b\) 是否为 \(0\) 有关，答案仅与 \(w,b\) 的奇偶性有关，所以可以优化 \(f(i,w\in[0,2],b\in[0,2])\) 为：已为大于等于 \(i\) 的结点染好颜色，且白色的满足 \(2\not\mid g(v)\) 的 \(v\) 未出现 / 出现奇数次 / 出现偶数次，黑色同理，就能转移啦。

  复杂度 \(\mathcal O(n)\)，带约 \(10\) 倍常数。

\(\mathcal{Code}\)

/* Clearink */

#include <cstdio>

#define rep( i, l, r ) for ( int i = l, repEnd##i = r; i <= repEnd##i; ++i )
#define per( i, r, l ) for ( int i = r, repEnd##i = l; i >= repEnd##i; --i )

const int MAXN = 2e5, MOD = 998244353;
int n, a[MAXN + 5], pwr[MAXN + 5], f[MAXN + 5][3][3];
// 0: none, 1: odd, 2: even.

inline int mul( const long long a, const int b ) { return a * b % MOD; }
inline int add( int a, const int b ) { return ( a += b ) < MOD ? a : a - MOD; }
inline void addeq( int& a, const int b ) { ( a += b ) >= MOD && ( a -= MOD ); }

int main() {
	freopen( "life.in", "r", stdin );
	freopen( "life.out", "w", stdout );
	scanf( "%d", &n ), pwr[0] = 1;
	rep ( i, 1, n ) {
		scanf( "%d", &a[i] );
		pwr[i] = add( pwr[i - 1], pwr[i - 1] );
	}
	f[n + 1][0][0] = 1;
	per ( i, n + 2, 2 ) {
		int all = n - i + 1, cur;
		rep ( w, 0, 2 ) rep ( b, 0, 2 ) {
			if ( !( cur = f[i][w][b] ) ) continue;
			if ( !a[i - 1] ) {
				addeq( f[i - 1][w][b], mul( cur, b ? pwr[all - 1] : 0 ) );
				addeq( f[i - 1][( w & 1 ) + 1][b], mul( cur, pwr[all - !!b] ));
			} else if ( ~a[i - 1] ) {
				addeq( f[i - 1][w][b], mul( cur, w ? pwr[all - 1] : 0 ) );
				addeq( f[i - 1][w][( b & 1 ) + 1], mul( cur, pwr[all - !!w] ));
			} else {
				addeq( f[i - 1][w][b], mul( cur, b ? pwr[all - 1] : 0 ) );
				addeq( f[i - 1][w][b], mul( cur, w ? pwr[all - 1] : 0 ) );
				addeq( f[i - 1][( w & 1 ) + 1][b], mul( cur, pwr[all - !!b] ));
				addeq( f[i - 1][w][( b & 1 ) + 1], mul( cur, pwr[all - !!w] ));
			}
		}
	}
	int ans = 0;
	rep ( w, 0, 2 ) rep ( b, 0, 2 ) {
		if ( ( w + b ) & 1 ) {
			addeq( ans, f[1][w][b] );
		}
	}
	printf( "%d\n", ans );
	return 0;
}